Orbite e stabilizzatori

definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (215 Orbita e stabilizzatore)

Data un'azione di un gruppo su un insieme , per ogni elemento definiamo:

  1. .

Questo è l'insieme di tutte le immagini mediante del punto al variare di e si chiama orbita contenente per il gruppo . E' un sottoinsieme di .

  1. . E' l'insieme di tutti e soli gli elementi di tali che fissa .

E' un sottoinsieme (e un sottogruppo) di e si chiama stabilizzatore del punto in .

 

Stabilizzante come sottogruppo[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (216)

Per ogni fissato lo stabilizzatore è un sottogruppo di . Questo discende dagli assiomi di un'azione di gruppo.

  1. , infatti (per la proprietà 1 di azione di gruppo)
  2. Dimostro che presi due elementi , allora , cioè se fissano , anche fissa .

( è ancora uguale a perché in )
(perché anche )

Quindi lo stabilizzatore di un punto di in è un sottogruppo per il criterio.

 

Orbite come classi di equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (217)

Le orbite di su determinano una partizione di , allora posso definire una relazione di equivalenza le cui classi sono le orbite.


Consideriamo sull'insieme la relazione definita ponendo per , se e solo se esiste un elemento tale che . Questo equivale a dire che gli elementi associati a sono gli elementi dell'orbita.


Mostriamo che è una relazione di equivalenza su :

Riflessività
ogni è associato a se stesso. L'elemento di tale che è l'unità.
simmetria
se , allora . Se , esiste tale che .

Alora e per le proprietà di azione di gruppo si ha . Questo significa che se pongo .

Transitività
Se , allora esiste tale che . Se , allora .

Allora , ovvero vale la proprietà transitiva perché esiste tale che .

La classe di equivalenza è l'orbita per come è definita. Pertanto si può concludere che se considero l'insieme delle -orbite sull'insieme , esso costituisce una partizione dell'insieme dei punti di . Sia la partizione e in ciascuna orbita scegliamo un rappresentante. Sia un insieme completo di rappresentanti per le -orbite su , cioè per . Allora l'insieme . La cardinalità di è la somma delle cardinalità delle orbite.

 


Osservazione (218)

Se la cardinalità di è 1, ovvero se c'è una sola -orbita su , allora presi due elementi esiste sempre un elemento tale che . Diremo che l'azione di su è transitiva. (per moltiplicazioni a sinistra si può passare da un elemento di all'altro).


Nel caso della rappresentazione regolare lo stabilizzatore di un punto è ridotto all'unità di .

 

numero dei laterali[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (219)

Se ho un gruppo e un suo sottogruppo , allora possiamo considerare i laterali sinistri e destri di in . Se è normale, le due partizioni coincidono. Se è un gruppo finito, il numero dei laterali sinistri è uguale a quello dei laterali destri, anche se il sottogruppo non è normale (per il teorema di Lagrange).


Questo è vero in generale: dato un gruppo anche infinito e un suo sottogruppo (non necessariamente normale), l'insieme dei laterali sinistri e quello dei laterali destri in hanno la stessa cardinalità.


Infatti se si considera la biezione di in sé che associa al laterale sinistro il laterale destro è una biezione tra e . Questa corrispondenza non dipende dalla scelta dei rappresentanti. Infatti si ha:

L'applicazione è ben definita. Lo stesso non si può dire per la corrispondenza che a associa .

 
Definizione (220 Indice)

La cardinalità comune a e si dice indice del sottogruppo in e si denota con . (questo è ovvio nel caso in cui è finito).

 
Osservazione (221)

Per il teorema di Lagrange, l'indice del sottogruppo in è uguale a . (quoziente fra ordine del gruppo e ordine del sottogruppo)

 

Legame tra laterali e orbite[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (222)

Sia un'azione di sull'insieme . Per goni vi è una biezione fra l'insieme (insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore in ) e l'orbita . In altre parole la cardinalità dell'orbita è uguale alla cardinalità di che è l'indice

Nel caso di finito, la lunghezza di un'orbita è uguale al quoziente tra l'ordine di e l'ordine dello stabilizzatore .

 
Dimostrazione

Sia e supponiamo che per un altro elemento . Allora se e solo se (faccio agire su entrambi i membri). Quindi quindi se e solo se . E questa condizione implica che per la condizione di uguaglianza tra i laterali.


In altre parole, l'applicazione da all'orbita definita associando a l'elemento induce una biezione fra e l'orbita .


Quindi le immagini distinte sono tante quante i laterali dello stabilizzatore in , perché se due elementi di un'orbita coincidono, anche i rispettivi laterali dello stabilizzatore coincidono.

 

Equazione delle orbite[modifica | modifica wikitesto]

Corollario (223 equazione delle orbite)

Supponiamo un insieme di cardinalità finita su cui opera. Sia la partizione di nelle -orbite . Allora se scelgo un insieme completo di rappresentanti per le -orbite su , allora l'ordine di è uguale alla cardinalità di e si ha

(l'ultima espressione corrisponde al numero dei laterali dello stabilizzatore).

 

Esempi: rappresentazione regolare sinistra[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la rappresentazione regolare sinistra, cioè l'azione da a che a ogni coppia ordinata associa (per ogni , è data dalla moltiplicazione a sinistra per ). Se considero e considero , l'orbita è . In quest'azione c'è un'unica orbita che è , l'azione è transitiva. Lo stabilizzante quindi è ridotto all'unità di .


Osservazione (224)

Posso considerare un elemento e sia il sottogruppo ciclico generato da . Consideriamo la restrizione della rappresentazione regolare di ad , allora per ogni , l'orbita che contiene è il laterale destro . La cardinalità di questo laterale è uguale all'indice dello stabilizzante di nel gruppo .


Infatti, lo stabilizzante è ridotto all'unità di e ha ordine , quindi il quoziente .


Se considero la rappresentazione regolare ristretta al sottogruppo , ogni orbita ha cardinalità uguale all'ordine di .


Se è un gruppo finito, l'azione che realizza per moltiplicazione a sinistra è decomponibile nel prodotto di cicli disgiunti e la loro lunghezza è uguale al periodo di ,


Se , ogni orbita ha lunghezza .

In particolare, se è un gruppo finito, la lunghezza di ogni -orbita su è uguale al quoziente fra l'ordine finito di e l'ordine dello stabilizzatore di un punto.

 

Classi di coniugio e centralizzatore[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (225 Classe di coniugio)

Ho un'applicazione che alla coppia associa , cioè il coniugato dell'elemento di mediante .


Se prendo un elemento l'orbita è l'insieme . Ogni orbita è una classe di equivalenza e viene definita classe di coniugio di .

 
Definizione (226 Centralizzatore)

Lo stabilizzatore , cioè sono tutti e soli gli elementi di che commutano con l'elemento . Questo sottogruppo si denota con e si chiama centralizzatore di in . E' un sottogruppo essendo uno stabilizzatore.

 



La cardinalità di è uguale all'indice del centralizzante di in . In particolare, se è un gruppo finito, ogni classe di coniugio ha ordine . L'ordine dello stabilizzatore è un divisore dell'ordine del gruppo. La cardinalità di è uguale a se e solo se il centralizzante in dell'elemento coincide con l'intero gruppo e quindi se commuta con tutti gli elementi di . In questo caso le orbite contengono un solo elemento, che è un elemento del centro di , indicato con .

Equazione delle classi[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (227 Equazione delle classi)

Sia un gruppo finito e sia un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio di non centrali, cioè contenute in e sono . (le classi di coniugio centrali sono quelle che sono costituite da un oggetto solo, perché in questo caso l'ordine dello stabilizzatore è uguale all'ordine del gruppo). Allora:

cioè l'ordine del gruppo è la somma degli ordini delle classi di coniugio non centrali e del numero di elementi del centro. Ogni classe ha lunghezza pari all'ordine di diviso l'ordine del centralizzante di un rappresentante.

 



Riassumendo, il centro si può definire come l'insieme degli elementi che commutano con tutti gli elementi di . Invece il centralizzante, dato un elemento , è l'insieme degli elementi di che commutano con .


Esercizio (228)

Supponiamo di avere un gruppo finito che ha potenza uguale a un numero primo (-gruppo finito). In questo gruppo il centro è più grande della sola unità.


Il fatto che il centro non può essere ridotto a si ricava dall'equazione delle classi. Infatti, per quest'equazione

In ogni gruppo ciclico finito esiste per ogni divisore dell'ordine uno e un solo sottogruppo che ha come ordine quel divisore. Ma se ha come ordine un numero primo, ha solo due sottogruppi banali. Quindi . Allora necessariamente ci sono orbite con un elemento solo.

 

Azione per coniugio sui sottogruppi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e sia l'insieme dei sottogruppi di . Allora possiamo definire un'azione ponendo sottogruppo di , (è immediato verificare che è un sottogruppo di ).


Sono soddisfatti i due assiomi di azione:

  1. Siano , allora (operatorialità)



L'orbita è l'insieme , cioè l'insieme dei coniugati di mediante gli elementi di , della forma (classe di coniugio del sottogruppo ).


Definizione (229 Normalizzante)

Lo stabilizzatore è . Questo stabilizzatore viene denotato con e si chiama normalizzante del sottogruppo in . E' il più grande sottogruppo di in cui è normale.

 



Per l'equazione delle orbite sappiamo che la cardinalità dell'orbita che contiene è uguale alla cardinalità dell'insieme dei laterali . La lunghezza dell'orbita è un divisore dell'ordine di ed è uguale al quoziente tra l'ordine di e l'ordine del normalizzante.

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