Definizione (177 Morfismo)
Se
sono due gruppi, un morfismo (o omomorfismo) è un'applicazione
che conserva il prodotto,
cioè tale che per ogni
l'immagine del prodotto
mediante
coincide con il prodotto delle immagini, cioè
.
Dalla definizione discendono le due seguenti proprietà dei morfismi:
Proposizione (178)
(non vale nei monoidi, perché dipende dalle proprietà di gruppo).
si ha
.
Dimostrazione
Devo dimostrare che
. Siccome
si ha
.
Valgono le leggi di cancellazione e semplifico per
, quindi rimane
.
Il secondo punto segue dal primo, perché
, ma per ogni
,
.
Ma
conserva il prodotto, quindi
, quindi
è inverso di
.
Un morfismo di gruppi può essere iniettivo, biettivo, suriettivo.
Se ho un morfismo
che è iniettivo, esso prende il nome di monomorfismo.
Ogni elemento di
, se ha una preimmagine, ne ha una sola.
Se
è suriettivo, allora si dice che è un epimorfismo.
Se
è biettivo, allora si dice isomorfismo. Se ho un isomorfismo da
ad
ed identifico
ogni elemento di
con la sua preimmagine in
, allora non c'è nessuna distinzione sulle operazioni tra i due gruppi.
Presa la classe di tutti i gruppi e considerata la relazione che associa due gruppi se e solo se sono isomorfi,
essa è una relazione di equivalenza.
Dati due morfismi
e
, allora posso considerare la composizione
che è a sua volta un morfismo.
Se
è un isomorfismo, allora
è biettiva quindi esiste l'inversa
che è a
sua volta un isomorfismo.
Dimostrazione
Devo provare che
conserva il prodotto. Per ogni
, devo provare che
.
![{\displaystyle f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b))=[f\circ f^{-1}(a)]*[f\circ f^{-1}(b)]=ab}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4b9418e1d1b2ba4ef6d346bded50d89976345644)
(questo è possibile perché

è un morfismo e

sono elementi di

)
Allora applico

a entrambi i membri di questa uguaglianza e ottengo:
![{\displaystyle f^{-1}[f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b))]=f^{-1}(ab)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/310d689252de77ff1a8c88881b1658b7c135b88f)

(si sa che l'inversa di un'applicazione biettiva è biettiva, quindi

è un morfismo)