Morfismi

Definizione e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (177 Morfismo)

Se $G,H$ $G,H$ sono due gruppi, un morfismo (o omomorfismo) è un'applicazione $f\colon G\to H$ $f\colon G\to H$ che conserva il prodotto, cioè tale che per ogni $a,b\in G$ $a,b\in G$ l'immagine del prodotto $ab$ $ab$ mediante $f$ $f$ coincide con il prodotto delle immagini, cioè $f(ab)=f(a)*f(b)$ $f(ab)=f(a)*f(b)$ .

Dalla definizione discendono le due seguenti proprietà dei morfismi:

Proposizione (178)

$f(1_{G})=1_{H}$ $f(1_{G})=1_{H}$ (non vale nei monoidi, perché dipende dalle proprietà di gruppo).
$\forall g\in G$ $\forall g\in G$ si ha $f(g^{-1})=(f(g))^{-1}\in H$ $f(g^{-1})=(f(g))^{-1}\in H$ .

Dimostrazione

Devo dimostrare che $f(1_{G})=1_{h}$ $f(1_{G})=1_{h}$ . Siccome $1_{G}=1_{G}*1_{G}$ $1_{G}=1_{G}*1_{G}$ si ha $f(1_{G})=f(1_{G}*1_{G})=f(1_{G})*f(1_{G})=f(1_{G})*1_{G}$ $f(1_{G})=f(1_{G}*1_{G})=f(1_{G})*f(1_{G})=f(1_{G})*1_{G}$ . Valgono le leggi di cancellazione e semplifico per $f(1_{G})$ $f(1_{G})$ , quindi rimane $1_{H}=f(1_{G})$ $1_{H}=f(1_{G})$ .

Il secondo punto segue dal primo, perché $1_{H}=f(1_{G})$ $1_{H}=f(1_{G})$ , ma per ogni $g\in G$ $g\in G$ , $1_{H}=f(g*g^{-1})$ $1_{H}=f(g*g^{-1})$ . Ma $f$ $f$ conserva il prodotto, quindi $f(g^{-1}*g)=1_{H}=f(g^{-1})*f(g)$ $f(g^{-1}*g)=1_{H}=f(g^{-1})*f(g)$ , quindi $f(g^{-1})$ $f(g^{-1})$ è inverso di $f(g)$ $f(g)$ .

Tipi di morfismo[modifica | modifica wikitesto]

Un morfismo di gruppi può essere iniettivo, biettivo, suriettivo.

Se ho un morfismo $f$ $f$ che è iniettivo, esso prende il nome di monomorfismo. Ogni elemento di $H$ $H$ , se ha una preimmagine, ne ha una sola.

Se $f$ $f$ è suriettivo, allora si dice che è un epimorfismo.

Se $f$ $f$ è biettivo, allora si dice isomorfismo. Se ho un isomorfismo da $G$ $G$ ad $H$ $H$ ed identifico ogni elemento di $H$ $H$ con la sua preimmagine in $G$ $G$ , allora non c'è nessuna distinzione sulle operazioni tra i due gruppi.

Presa la classe di tutti i gruppi e considerata la relazione che associa due gruppi se e solo se sono isomorfi, essa è una relazione di equivalenza.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (179)

Dati due morfismi $f_{1}\colon G\to H$ $f_{1}\colon G\to H$ e $f_{2}\colon H\to K$ $f_{2}\colon H\to K$ , allora posso considerare la composizione $f_{2}\circ f_{1}\colon G\to K$ $f_{2}\circ f_{1}\colon G\to K$ che è a sua volta un morfismo.

Osservazione (180)

Se $f\colon G\to H$ $f\colon G\to H$ è un isomorfismo, allora $f$ $f$ è biettiva quindi esiste l'inversa $f^{-1}\colon H\to G$ $f^{-1}\colon H\to G$ che è a sua volta un isomorfismo.

Dimostrazione

Devo provare che $f^{-1}$ $f^{-1}$ conserva il prodotto. Per ogni $a,b\in H$ $a,b\in H$ , devo provare che $f^{-1}(a)*f^{-1}(b)=f^{-1}(ab)$ $f^{-1}(a)*f^{-1}(b)=f^{-1}(ab)$ .