Morfismi

Definizione e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (177 Morfismo)

Se sono due gruppi, un morfismo (o omomorfismo) è un'applicazione che conserva il prodotto, cioè tale che per ogni l'immagine del prodotto mediante coincide con il prodotto delle immagini, cioè .

 



Dalla definizione discendono le due seguenti proprietà dei morfismi:

Proposizione (178)
  1. (non vale nei monoidi, perché dipende dalle proprietà di gruppo).
  2. si ha .
 
Dimostrazione

Devo dimostrare che . Siccome si ha . Valgono le leggi di cancellazione e semplifico per , quindi rimane .


Il secondo punto segue dal primo, perché , ma per ogni , . Ma conserva il prodotto, quindi , quindi è inverso di .

 

Tipi di morfismo[modifica | modifica wikitesto]

Un morfismo di gruppi può essere iniettivo, biettivo, suriettivo.


Se ho un morfismo che è iniettivo, esso prende il nome di monomorfismo. Ogni elemento di , se ha una preimmagine, ne ha una sola.


Se è suriettivo, allora si dice che è un epimorfismo.


Se è biettivo, allora si dice isomorfismo. Se ho un isomorfismo da ad ed identifico ogni elemento di con la sua preimmagine in , allora non c'è nessuna distinzione sulle operazioni tra i due gruppi.


Presa la classe di tutti i gruppi e considerata la relazione che associa due gruppi se e solo se sono isomorfi, essa è una relazione di equivalenza.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (179)

Dati due morfismi e , allora posso considerare la composizione che è a sua volta un morfismo.

 


Osservazione (180)

Se è un isomorfismo, allora è biettiva quindi esiste l'inversa che è a sua volta un isomorfismo.

 
Dimostrazione

Devo provare che conserva il prodotto. Per ogni , devo provare che .

(questo è possibile perché è un morfismo e sono elementi di ) Allora applico a entrambi i membri di questa uguaglianza e ottengo:
(si sa che l'inversa di un'applicazione biettiva è biettiva, quindi è un morfismo)

 
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