Gruppi quoziente

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia ora una congruenza in un gruppo con nucleo uguale al sottogruppo normale . Sappiamo che il prodotto definito su induce un prodotto sull'insieme quoziente delle classi di equivalenza . ha come elementi i laterali destri (o sinistri) di in .


Denotiamo l'insieme quoziente con (perché i suoi elementi sono esprimibili mediante ). Allora si chiama gruppo quoziente di rispetto al sottogruppo normale .


Teorema (181)
  1. L'insieme quoziente è un gruppo rispetto all'operazione indotta definita su chiamata prodotto di laterali:

presi due laterali e , si definisce . Questo gruppo con l'operazione si chiama gruppo quoziente di rispetto al sottogruppo normale .

  1. Se consideriamo la proiezione canonica , definita ponendo ,

essa è un epimorfismo da a . Allora in questo contesto viene chiamata epimorfismo canonico.

 
Dimostrazione

L'operazione indotta è associativa, ammette unità (la classe di equivalenza dell'unità, cioè il laterale destro che contiene l'unità, che è ). Ogni laterale ammette come inverso il laterale che contiene l'inverso di . Quindi l'insieme quoziente con l'operazione indotta è un gruppo.


Presi due elementi devo dimostrare che la proiezione canonica conserva il prodotto. per definizione della proiezione canonica. Un elemento generico dell'insieme quoziente ha una preimmagine in , data da tutti gli elementi contenuti nel laterale, quindi è suriettiva.

 
Osservazione (182)

Se considero un gruppo e un qualsiasi sottogruppo normale , il quoziente è epimorfo a (l'epimorfismo è la proiezione canonica ).

 
Osservazione (183)

non è l'unico morfismo di su , la proiezione canonica si può comporre con altri isomorfismi.

 

Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (184)

Siano due gruppi e un morfismo di gruppi. Allora valgono le seguenti proprietà:

  1. la relazione di equivalenza sul dominio associata all'applicazione è una congruenza.
  2. supponendo vero il punto 1, sia il nucleo di e sia la proiezione canonica di su . Allora esiste ed è unico un morfismo tale che sia , ovvero tale da rendere commutativo il diagramma:

(per la teoria degli insiemi una tale aplicazione esiste, bisogna verificare che esiste per i gruppi)

  1. è iniettiva, cioè è un monomorfismo ed è un isomorfismo se e solo se è un epimorfismo.
 
Dimostrazione
  1. Supponiamo che e , quindi e , da cui segue . Ma è un

morfismo. quindi . Similmente , quindi e hanno la stessa immagine, quindi e è una congruenza. (ricordare che è la relazione tale che se e solo se )

  1. Per il teorema di omomorfismo per gli insiemi, sappiamo che esiste ed è unica un'applicazione tale che . L'applicazione manda un elemento dell'insieme quoziente nell'immagine del rappresentante ,

ed è ben definita perché è il nucleo di e due elementi con la stessa immagine mediante sono in relazione mediante e appartengono allo stesso laterale . è la funzione cercata. Bisogna dimostrare che è un morfismo. , e , , ma è un morfismo e conserva il prodotto. Quindi , quindi .

  1. Segue dal teorema di omomorfismo per gli insiemi, in cui l'iniettività è verificata se come in questo caso.
 


In particolare, in questo caso se , allora è un isomorfismo e è isomorfo a . Viceversa, tutti e soli i gruppi che sono immagine epimorfa di un gruppo coincidono a meno di isomorfismi con i gruppi quozienti rispetto ai sottogruppi normali di .

Nucleo di una congruenza[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (185 Nucleo di un morfismo)

Il nucleo della congruenza associata al morfismo , si dice nucleo del morfismo e si denota con . Per definizione , ma se è un morfismo, . Il nucleo è l'insieme di tutte le preimmagini dell'unità di .

 

Esempi sui morfismi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio (186)

Sia gruppo simmetrico delle biezioni, sia il sottogruppo di . Se (associa a se è pari e se è dispari), è un epimorfismo di sul gruppo moltiplicativo . La funzione segno conserva il prodotto, è un epimorfismo e il nucleo è l'insieme di tutte le permutazioni pari che hanno come immagine . Il gruppo alterno, essendo il nucleo di un epimorfismo, è normale in .

 

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Se è un gruppo ed esiste un omomorfismo allora si considera il quoziente di rispetto al nucleo di . La proiezione canonica è la mappa che a ogni elemento di associa il laterale . Per il teorema di morfismo degli insiemi esiste ed è unica l'applicazione tale che . è iniettiva ed è un isomorfismo solo se è un epimorfismo da ad . Il teorema universale del morfismo esprime la proprietà universale della proiezione canonica.


Ogni quoziente di rispetto a un qualsiasi sottogruppo normale è epimorfo a .

Gruppo additivo degli interi[modifica | modifica wikitesto]

Sia il gruppo additivo degli interi. Fissato un intero , consideriamo il sottogruppo ciclico generato da (normale) che chiamiamo : esso consiste di tutti i multipli di , cioè gli interi della forma

.


Considero tre casi distinti:

  1. Se , il sottogruppo è ridotto alla sola unità di . Quando considero il quoziente

esso coincide con l'intero gruppo . Questo quoziente è isomorfo a . In generale, se prendo un qualsiasi gruppo e ne faccio il quoziente rispetto al sottogruppo contenente solo l'unità, esso è isomorfo a .

  1. se allora , il gruppo quoziente di rispetto a stesso è dato da un solo elemento ed è il gruppo banale.

E' isomorfo al sottogruppo generato dall'unità di .

  1. Se , siccome il sottogruppo ciclico generato da coincide con quello generato da , considero .

In questo caso gli elementi del quoziente sono i laterali additivi della forma . Il laterale che contiene è dato dagli elementi della forma che è la classe di resti di . Dunque è l'insieme delle classi di resti modulo e l'operazione indotta su è la somma di laterali. La somma di due laterali cioè la somma di classi di resti modulo . Dunque si conclude che il gruppo quoziente con l'operazione indotta da coincide con il gruppo additivo delle classi di resti modulo .



Un gruppo ciclico infinito è sempre isomorfo al gruppo additivo degli interi. Se consideriamo un qualsiasi sottogruppo di esso dev'essere ciclico. I gruppi che ottengo quozientando il gruppo degli interi sono a meno di isomorfismi lo stesso (ottenuto quozientando rispetto al sottogruppo banale), il sottogruppo banale (ottenuto quozientando rispetto all'intero ) e i gruppi additivi delle classi di resto modulo (ottenuti quozientando rispetto ai sottogruppi ciclici generati da ). In termini di congruenze, le uniche congruenze ammesse dal sottogruppo degli interi oltre a quelle banali (identità e relazione universale) sono le congruenze modulo per ogni fissato .

Classificazione dei gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo ciclico generato da un suo elemento . Allora ogni elemento di si può scrivere come una potenza di . Consideriamo la mappa definita ponendo per ogni , .


è un epimorfismo perché conserva le operazioni: presi due interi se considero la loro somma e ne faccio l'immagine, si ottiene (conserva il prodotto). Per costruzione, siccome è ciclico, ogni elemento di si può scrivere come una potenza e quindi ha una preimmagine (suriettività).


Se è suriettivo, . Ci sono due possibilità:

  1. ha periodo infinito; in questo caso la funzione potenza è iniettiva l'unico per cui è .

Allora il quoziente è isomorfo al gruppo di arrivo, ovvero è isomorfo a . Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo al gruppo degli interi .

  1. il periodo di è . Allora

. Se , per ogni , allora è un multiplo di . Allora il nucleo è il sottogruppo ciclico generato da . Se ho il gruppo banale. Se , usando il teorema di omomorfismo si ha che è isomorfo al quoziente di rispetto al nucleo, cioè alla classe di resti modulo (il teorema di omomorfismo è quello che afferma l'esistenza di un morfismo ). Ogni gruppo ciclico finito di ordine è isomorfo al gruppo additivo delle classi di resto modulo .


Osservazione (187)

è un sottogruppo di . Nel quoziente ogni elemento ha periodo finito. Preso un laterale del tipo , sommando volte si ottiene l'unità del quoziente, infatti si ottiene . Quindi l'ordine di ogni laterale divide .

 

Prodotto di insiemi[modifica | modifica wikitesto]

L'unione insiemistica di due sottogruppi non è sempre un sottogruppo.


Definizione (188 Insieme prodotto)

Siano sottogruppi di . Chiamo l'insieme prodotto l'insieme di tutti i possibili prodotti . Questo non è in generale un sottogruppo.

 


Lemma (189)

Condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto sia un sottogruppo è che sia permutabile, cioè che ogni elemento si possa scrivere come .

 



Il prodotto non è sempre un sottogruppo.

Esempio (190 Controesempio)

Se considero infatti il gruppo , il prodotto generato dai sottogruppi di due scambi distinti ha ordine e questo non può essere un sottogruppo di perché non divide .

 


Esercizio (191)

In generale, se è un gruppo finito e se e sono finiti, allora il prodotto è finito e l'ordine del sottogruppo prodotto è dato dalla formula:

 


Lemma (192)

Siano sottogruppi di un gruppo e supponiamo che sia normale in . Allora il prodotto è un sottogruppo. (Inoltre, il prodotto di due sottogruppi normali è ancora normale.)

 
Dimostrazione
unità
Il prodotto contiene ovviamente l'unità, che è contenuta in ognuno dei due sottogruppi.
chiusura per prodotto
siano e elementi del prodotto. Allora . Siccome

è normale, il laterale sinistro coincide con il laterale destro, quindi esiste tale che . che appartiene ancora a .

chiusura per inversi
sia un elemento di .

L'inverso appartiene al laterale che coincide con e questo implica che l'inverso di è che appartiene a .

 

Conseguenze del teorema di omomomrfismo[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (193)

Sia un gruppo, siano sottogruppi di e supponiamo che sia normale. Allora è un sottogruppo normale del prodotto , e l'intersezione è un sottogruppo normale di . Il gruppo quoziente è isomorfo al gruppo quoziente .

 
Dimostrazione

Consideriamo l'applicazione definita ponendo , cioè ad ogni associa il laterale che lo contiene (nota 1). è suriettiva, un generico elemento del quoziente è , che è un elemento di , cioè coincide con il laterale . Allora questo elemento ha preimmagine mediante .


è un morfismo, perché presi due elementi , se calcolo . Ma questo per definizione di prodotto di laterali è uguale al prodotto (per l'operazione di prodotto di laterali).


Dunque è un epimorfismo da a . Il nucleo di è l'insieme di tutti gli elementi di che hanno come immagine l'unità nel gruppo di arrivo, cioè è l'insieme . Cioè sono tutti e soli gli che stanno anche in (il nucleo è ), quindi segue dal teorema di omomorfismo che il quoziente è isomorfo al gruppo di arrivo (tesi). (Infatti per il teorema di omomorfismo l'applicazione è un omomorfismo).

 


Osservazione (194)

Se considero il quoziente i laterali sono della forma , ma quindi .

 


Teorema (195)

Sia un gruppo e siano entrambi sottogruppi normali di . Supponiamo che . Allora è normale in e si può considerare il quoziente . Questo è un sottogruppo normale del gruppo quoziente e il quoziente di rispetto al sottogruppo normale è isomorfo a , (in simboli è isomorfo a , cioè posso semplificare per ).

 
Dimostrazione

Consideriamo l'applicazione che associa a un elemento di un elemento di . Questa corrispondenza sembra dipendere dalla scelta dei rappresentanti dei laterali, ma in realtà non è così. Se cambio rappresentante, è ben definita.


Supponiamo di cambiare rappresentante del laterale. . Allora . Siccome per ipotesi, , . Quindi è ben definita perché .


è suriettiva, perché ogni elemento di ha una preimmagine. L'applicazione inoltre conserva il prodotto ed è un epimorfismo.


Il nucleo di è l'insieme dei laterali tali che . Quindi . Questo avviene quando , quindi laterali di in e costituiscono il gruppo quoziente . Allora per il teorema di omomorfismo il gruppo di partenza quozientato rispetto ad (nucleo) dev'essere isomorfo al gruppo di arrivo .

 
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