Definizione (100)
Sia
un insieme non vuoto e chiamiamo
l'insieme di tutte le applicazioni biettive (invertibili) di
in sé stesso, chiamate anche permutazioni o trasformazioni su
. Il prodotto di due applicazioni biettive è ancora un'applicazione biettiva, quindi la coppia
è un gruppo. Il prodotto di applicazioni ha una legge di composizione interna all'insieme, è associativo e l'unità è l'identità. Questo è il gruppo totale o simmetrico sull'insieme
.
Supponiamo che
sia finito e supponiamo che la sua cardinalità sia
allora il gruppo simmetrico ha ordine
. In questo caso
si denota anche con
.
Se chiamo
una permutazione di
, allora la indico con

o anche

.
Consideriamo un tipo particolare di permutazione dette cicli.
Definizione (101)
Per ogni
, si dice ciclo di lunghezza
una permutazione su
del tipo

.
Esempio (102)
.
Se ho una permutazione
e
, ho due possibilità:
allora
muove
, se
allora
fissa
.
Definizione (103)
Due permutazioni
si dicono disgiunte se gli oggetti mossi da
sono fissati da
. In questo caso,
(le due permutazioni non interferiscono sugli oggetti).
Proposizione (104)
Ogni permutazione
diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di un numero finito di cicli a due a due disgiunti, univocamente determinati dalla permutazione
a meno dell'ordine dei fattori.
Dimostrazione
, prendo un oggetto
mosso da
. Se
, allora
potrebbe avere come immagine
e chiudere un ciclo di lunghezza
, altrimenti potrebbe andare in
. Poi
non può tornare in
perché
è biettiva. Allora
. Non posso proseguire all'infinito perché si ha solo un numero finito di oggetti. Non posso tornare in
per la biettività di
, allora si torna in
e si chiude un ciclo. Se tutti gli
oggetti sono terminati, la permutazione è un ciclo di lunghezza
. Se alcuni oggetti sono rimasti fuori, la permutazione potrebbe fissarli tutti. Quindi gli elementi fissati non compaiono. Se c'è un altro elemento che viene mosso, si ripete il ragionamento e si ha un ciclo disgiunto dal precedente. Posso considerare
come il prodotto di cicli a due a due disgiunti, e gli elementi che non compaiono sono punti fissi.
Oltre alla scrittura in tabella, un ciclo di lunghezza
, si può indicare come
: questa scrittura indica che
, cioè a destra di ogni elemento si mette la sua immagine mediante
, e l'immagine dell'ultimo elemento scritto è il primo (il ciclo si chiude).
Usando la prima notazione su più righe, è inessenziale l'ordinamento della prima riga, ma è essenziale che sotto a ciascun elemento ci sia l'immagine.
Per ogni ciclo ci sono
scritture del tipo
.
Se
ha almeno due oggetti, le permutazioni sono l'identità
e la permutazione che scambia
con
(
ha ordine
).
Definizione (105)
Un ciclo di lunghezza
si chiama scambio o trasposizione.
Esempio (106)
ha
oggetti (
): l'identità, tre scambi, un ciclo di lunghezzza 3
e il suo inverso
.
Esempio (107)
ha
permutazioni. La struttura ciclica di una permutazione è la decomposizione in cicli disgiunti. Possiamo avere l'identità,
scambi (si calcolano facendo
, perché ogni scambio ha due scritture possibili),
cicli di lunghezza
, prodotti di due cicli disgiunti
che sono
. Infine ci sono i cicli di lunghezza
che sono
.
La somma è
.
Il risultato si può generalizzare con una formula complessiva.
Prendiamo una permutazione
e la scriviamo nel modo iniziale:

e definiamo
segno di 
la quantità

(faccio il prodotto di frazioni che
hanno al numeratore

e al denominatore

per ogni coppia con

). Ciascuno dei numeratori compare anche al
denominatore a meno di un segno (sia gli

che i

appartengono a

), quindi posso semplificare ciascun numeratore con il denominatore corrispondente a meno di un segno.
Definizione (108)
Chiamo
il segno.
Definizione (109)
è una permutazione pari se
e si dice dispari se
.
Presa una qualsiasi permutazione
, scritta come

Se considero il prodotto

, applico prima

e poi

, quindi

è la permutazione che manda

in

.
Il suo segno per definizione è uguale a
Se calcolo
.
Ciascun
che compare in
si semplifica con il corrispondente denominatore in
e il risultato è lo stesso.
Quindi il segno del prodotto
è uguale al prodotto dei segni
.
Si deduce immediatamente che l'insieme di tutte le permutazioni di segno
di
formano un sottogruppo. L'identità è pari, quindi l'insieme è non vuoto. L'insieme delle permutazioni pari è chiuso rispetto al prodotto, perché il prodotto tra permutazioni pari è pari. L'inverso di
, chiamata
è pari. Questo sottogruppo si chiama gruppo alterno su
oggetti e si denota con
.
Il prodotto di due permutazioni dispari è pari, quindi le permutazioni dispari non formano un sottogruppo.
Il gruppo alterno
ha ordine
e anche le permutazioni dispari sono
preso il ciclo di lunghezza
,
il segno è
, perché
.
Ogni ciclo di lunghezza
è dispari.
Sia
, sia
. Posso scrivere questo ciclo come prodotto di scambi non disgiunti, cioè come
. Ogni termine compare in uno solo degli addendi.
Allora ogni ciclo di lunghezza
è prodotto di
scambi (non disgiunti) e con segno
. Se
è pari, il ciclo è pari (moltiplicando
per sé stesso per un numero pari di volte ottengo
), altrimenti è dispari.
se
, cioè se il ciclo ha lunghezza
.
Prendo una generica permutazione
, un qualsiasi elemento di
. Allora
per un certo
. Sia questa la decomposizione di
nel prodotto di
cicli disgiunti di lunghezza
. Il segno conserva il prodotto, quindi
.
Ogni ciclo è prodotto di scambi e ogni scambio ha segno
. Il ciclo di lunghezza
ha segno uguale a
.

L'esponente è il numero totale di scambi di cui

è prodotto in base a questa formula.
se l'esponente è pari, e quindi se è decomponibile in un numero pari di scambi non necessariamente disgiunti.
è dispari se l'esponente è dispari e quindi se è decomponibile nel prodotto di un numero dispari di scambi, non necessariamente disgiunti.
Una permutazione pari si può decomporre in infiniti modi, ma qualunque sia il modo, il numero degli scambi è sempre pari.
Prese tutte le permutazioni pari, se ad ognuna aggiungiamo lo scambio
otteniamo tutte permutazioni dispari e se ne ottengono altrettante. Quindi l'ordine del gruppo alterno è