Gruppi di trasformazioni

Definizione di permutazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (100)

Sia un insieme non vuoto e chiamiamo l'insieme di tutte le applicazioni biettive (invertibili) di in sé stesso, chiamate anche permutazioni o trasformazioni su . Il prodotto di due applicazioni biettive è ancora un'applicazione biettiva, quindi la coppia è un gruppo. Il prodotto di applicazioni ha una legge di composizione interna all'insieme, è associativo e l'unità è l'identità. Questo è il gruppo totale o simmetrico sull'insieme .

 



Supponiamo che sia finito e supponiamo che la sua cardinalità sia allora il gruppo simmetrico ha ordine . In questo caso si denota anche con .


Se chiamo una permutazione di , allora la indico con

o anche .

Cicli[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un tipo particolare di permutazione dette cicli.


Definizione (101)

Per ogni , si dice ciclo di lunghezza una permutazione su del tipo

.

 


Esempio (102)

.

 


Se ho una permutazione e , ho due possibilità: allora muove , se allora fissa .

Permutazioni disgiunte[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (103)

Due permutazioni si dicono disgiunte se gli oggetti mossi da sono fissati da . In questo caso, (le due permutazioni non interferiscono sugli oggetti).

 


Proposizione (104)

Ogni permutazione diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di un numero finito di cicli a due a due disgiunti, univocamente determinati dalla permutazione a meno dell'ordine dei fattori.

 


Dimostrazione

, prendo un oggetto mosso da . Se , allora potrebbe avere come immagine e chiudere un ciclo di lunghezza , altrimenti potrebbe andare in . Poi non può tornare in perché è biettiva. Allora . Non posso proseguire all'infinito perché si ha solo un numero finito di oggetti. Non posso tornare in per la biettività di , allora si torna in e si chiude un ciclo. Se tutti gli oggetti sono terminati, la permutazione è un ciclo di lunghezza . Se alcuni oggetti sono rimasti fuori, la permutazione potrebbe fissarli tutti. Quindi gli elementi fissati non compaiono. Se c'è un altro elemento che viene mosso, si ripete il ragionamento e si ha un ciclo disgiunto dal precedente. Posso considerare come il prodotto di cicli a due a due disgiunti, e gli elementi che non compaiono sono punti fissi.

 



Oltre alla scrittura in tabella, un ciclo di lunghezza , si può indicare come : questa scrittura indica che , cioè a destra di ogni elemento si mette la sua immagine mediante , e l'immagine dell'ultimo elemento scritto è il primo (il ciclo si chiude).


Usando la prima notazione su più righe, è inessenziale l'ordinamento della prima riga, ma è essenziale che sotto a ciascun elemento ci sia l'immagine.

Esempi di permutazioni di X[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni ciclo ci sono scritture del tipo .


Se ha almeno due oggetti, le permutazioni sono l'identità e la permutazione che scambia con ( ha ordine ).


Definizione (105)

Un ciclo di lunghezza si chiama scambio o trasposizione.

 


Esempio (106)

ha oggetti (): l'identità, tre scambi, un ciclo di lunghezzza 3 e il suo inverso .

 


Esempio (107)

ha permutazioni. La struttura ciclica di una permutazione è la decomposizione in cicli disgiunti. Possiamo avere l'identità, scambi (si calcolano facendo , perché ogni scambio ha due scritture possibili), cicli di lunghezza , prodotti di due cicli disgiunti che sono . Infine ci sono i cicli di lunghezza che sono . La somma è .

 



Il risultato si può generalizzare con una formula complessiva.

Segno di una permutazione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo una permutazione e la scriviamo nel modo iniziale:

e definiamo segno di la quantità (faccio il prodotto di frazioni che hanno al numeratore e al denominatore per ogni coppia con ). Ciascuno dei numeratori compare anche al denominatore a meno di un segno (sia gli che i appartengono a ), quindi posso semplificare ciascun numeratore con il denominatore corrispondente a meno di un segno.


Definizione (108)

Chiamo il segno.

 

Permutazioni pari e dispari[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (109)

è una permutazione pari se e si dice dispari se .

 



Presa una qualsiasi permutazione , scritta come

Se considero il prodotto , applico prima e poi , quindi è la permutazione che manda in . Il suo segno per definizione è uguale a

Se calcolo . Ciascun che compare in si semplifica con il corrispondente denominatore in e il risultato è lo stesso.


Quindi il segno del prodotto è uguale al prodotto dei segni .

Sottogruppo delle permutazioni pari[modifica | modifica wikitesto]

Si deduce immediatamente che l'insieme di tutte le permutazioni di segno di formano un sottogruppo. L'identità è pari, quindi l'insieme è non vuoto. L'insieme delle permutazioni pari è chiuso rispetto al prodotto, perché il prodotto tra permutazioni pari è pari. L'inverso di , chiamata è pari. Questo sottogruppo si chiama gruppo alterno su oggetti e si denota con .

Il prodotto di due permutazioni dispari è pari, quindi le permutazioni dispari non formano un sottogruppo.


Il gruppo alterno ha ordine e anche le permutazioni dispari sono

Segno di cicli[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (110)

preso il ciclo di lunghezza , il segno è , perché .

 

Ogni ciclo di lunghezza è dispari.


Sia , sia . Posso scrivere questo ciclo come prodotto di scambi non disgiunti, cioè come . Ogni termine compare in uno solo degli addendi.


Allora ogni ciclo di lunghezza è prodotto di scambi (non disgiunti) e con segno . Se è pari, il ciclo è pari (moltiplicando per sé stesso per un numero pari di volte ottengo ), altrimenti è dispari.


Osservazione (111)

se , cioè se il ciclo ha lunghezza .

 



Prendo una generica permutazione , un qualsiasi elemento di . Allora per un certo . Sia questa la decomposizione di nel prodotto di cicli disgiunti di lunghezza . Il segno conserva il prodotto, quindi .


Ogni ciclo è prodotto di scambi e ogni scambio ha segno . Il ciclo di lunghezza ha segno uguale a .

L'esponente è il numero totale di scambi di cui è prodotto in base a questa formula.


se l'esponente è pari, e quindi se è decomponibile in un numero pari di scambi non necessariamente disgiunti. è dispari se l'esponente è dispari e quindi se è decomponibile nel prodotto di un numero dispari di scambi, non necessariamente disgiunti.


Una permutazione pari si può decomporre in infiniti modi, ma qualunque sia il modo, il numero degli scambi è sempre pari.


Prese tutte le permutazioni pari, se ad ognuna aggiungiamo lo scambio otteniamo tutte permutazioni dispari e se ne ottengono altrettante. Quindi l'ordine del gruppo alterno è

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