Gruppi
Definizione[modifica | modifica wikitesto]
Sia un insieme non vuoto e un'operazione. La coppia si dice gruppo se è un monoide, con unità in cui per ogni esiste tale che .
Non si richiede che sia commutativa, ma se lo è, allora il gruppo si chiama abeliano (in onore di Abel, 1802-1829).
Notazione moltiplicativa: L'operazione viene chiamata prodotto, indicato con . L'unità si indica con . Per ogni , l'inverso si indica con .
Notazione additiva: L'operazione si chiama somma, l'unità è . In questo caso l'inverso additivo di un elemento si indica con e si chiama opposto.
Gli assiomi di gruppo sono sovrabbondanti. Per definire un gruppo sarebbe sufficiente definire un semigruppo e richiedere che ogni elemento abbia un inverso sinistro.
Prime proprietà formali di calcolo[modifica | modifica wikitesto]
Sono le prime proprietà che derivano dagli assiomi di gruppo espressi nella definizione. Con la notazione moltiplicativa:
, questo è vero perché
Per tre elementi comunque scelti, si ha che se vale l'uguaglianza , questa implica necessariamente e si ha anche implica (il gruppo a priori non è commutativo).
Moltiplicando ambo i membri per l'inversa di ottengo . Queste leggi non valgono in generale in un monoide, perché lì non è richiesto che ogni elemento sia invertibile.
Definizione di potenza[modifica | modifica wikitesto]
In un gruppo si può definire per ogni elemento la nozione di potenza con esponente relativo, mentre in un monoide si definisce solo la potenza con esponente positivo.
Se , allora è l'unità di , per , , e se ,
In notazione additiva, la nozione di potenza equivale alla nozione di multiplo.
Si definisce la nozione di multiplo secondo un intero relativo. Il multiplo secondo di è . Se il multiplo è Se , .
Valgono le proprietà delle potenze: Con sono numeri relativi e vale che
Se e sono positivi il risultato si ricava dai monoidi.
Anche nei gruppi e sono uguali solo se è commutativa.