Gruppi

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (76 Gruppo)

Sia un insieme non vuoto e un'operazione. La coppia si dice gruppo se è un monoide, con unità in cui per ogni esiste tale che .

 


Definizione (77 Gruppo abeliano)

Non si richiede che sia commutativa, ma se lo è, allora il gruppo si chiama abeliano (in onore di Abel, 1802-1829).

 


Definizione (78)

Notazione moltiplicativa: L'operazione viene chiamata prodotto, indicato con . L'unità si indica con . Per ogni , l'inverso si indica con .

 


Definizione (79)

Notazione additiva: L'operazione si chiama somma, l'unità è . In questo caso l'inverso additivo di un elemento si indica con e si chiama opposto.

 


Esercizio (80)

Gli assiomi di gruppo sono sovrabbondanti. Per definire un gruppo sarebbe sufficiente definire un semigruppo e richiedere che ogni elemento abbia un inverso sinistro.

 

Prime proprietà formali di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Sono le prime proprietà che derivano dagli assiomi di gruppo espressi nella definizione. Con la notazione moltiplicativa:


Proposizione (81 Prodotto di inverse)

, questo è vero perché

 


Proposizione (82 Leggi di cancellazione)

Per tre elementi comunque scelti, si ha che se vale l'uguaglianza , questa implica necessariamente e si ha anche implica (il gruppo a priori non è commutativo).

 


Dimostrazione

Moltiplicando ambo i membri per l'inversa di ottengo . Queste leggi non valgono in generale in un monoide, perché lì non è richiesto che ogni elemento sia invertibile.

 

Definizione di potenza[modifica | modifica wikitesto]

In un gruppo si può definire per ogni elemento la nozione di potenza con esponente relativo, mentre in un monoide si definisce solo la potenza con esponente positivo.


Definizione (83)

Se , allora è l'unità di , per , , e se ,

 


In notazione additiva, la nozione di potenza equivale alla nozione di multiplo.


Definizione (84)

Si definisce la nozione di multiplo secondo un intero relativo. Il multiplo secondo di è . Se il multiplo è Se , .

 


Proposizione (85)

Valgono le proprietà delle potenze: Con sono numeri relativi e vale che

Se e sono positivi il risultato si ricava dai monoidi.


Anche nei gruppi e sono uguali solo se è commutativa.

 
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