Gruppi

Definizione

Definizione (76 Gruppo)

Sia $G$$G$ un insieme non vuoto e $\ast$$\ast$ un'operazione. La coppia $(G,\ast )$$(G,\ast )$ si dice gruppo se è un monoide, con unità $u$$u$ in cui per ogni $g\in G$$g\in G$ esiste ${\bar {g}}\in G$${\bar {g}}\in G$ tale che $g\ast {\bar {g}}={\bar {g}}\ast g=u$$g\ast {\bar {g}}={\bar {g}}\ast g=u$.

 

Definizione (77 Gruppo abeliano)

Non si richiede che $\ast$$\ast$ sia commutativa, ma se lo è, allora il gruppo si chiama abeliano (in onore di Abel, 1802-1829).

 

Definizione (78)

Notazione moltiplicativa: L'operazione $\ast$$\ast$ viene chiamata prodotto, indicato con $\cdot$$\cdot$. L'unità si indica con $1_{G}$$1_G$. Per ogni $g\in G$$g\in G$, l'inverso ${\bar {g}}$${\bar {g}}$ si indica con $g^{-1}$$g^{-1}$.

 

Definizione (79)

Notazione additiva: L'operazione $\ast$$\ast$ si chiama somma, l'unità è $0_{G}$$0_{G}$. In questo caso l'inverso additivo di un elemento si indica con $-g$$-g$ e si chiama opposto.

 

Esercizio (80)

Gli assiomi di gruppo sono sovrabbondanti. Per definire un gruppo sarebbe sufficiente definire un semigruppo e richiedere che ogni elemento abbia un inverso sinistro.

 

Prime proprietà formali di calcolo

Sono le prime proprietà che derivano dagli assiomi di gruppo espressi nella definizione. Con la notazione moltiplicativa:

Proposizione (81 Prodotto di inverse)

$(AB)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$$(AB)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$, questo è vero perché $(AB)^{-1}\ast B^{-1}A^{-1}=u$$(AB)^{-1}\ast B^{-1}A^{-1}=u$

 

Proposizione (82 Leggi di cancellazione)

Per tre elementi $a,b,c$$a,b,c$ comunque scelti, si ha che se vale l'uguaglianza $ab=ac$$ab=ac$, questa implica necessariamente $b=c$$b=c$ e si ha anche $ac=ab$$ac=ab$ implica $c=b$$c=b$ (il gruppo a priori non è commutativo).

 

Dimostrazione

Moltiplicando ambo i membri per l'inversa di $a$$a$ ottengo $a^{-1}*ab=a^{-1}*ac\longrightarrow uc=ub\longrightarrow c=b$$a^{-1}*ab=a^{-1}*ac\longrightarrow uc=ub\longrightarrow c=b$. Queste leggi non valgono in generale in un monoide, perché lì non è richiesto che ogni elemento sia invertibile.

 

Definizione di potenza

In un gruppo si può definire per ogni elemento $a$$a$ la nozione di potenza con esponente relativo, mentre in un monoide si definisce solo la potenza con esponente positivo.

Definizione (83)

Se $a\in G$$a\in G$, allora $a^{0}$$a^{0}$ è l'unità di $G$$G$, per $n>0$$n>0$, $a^{n}=a^{n-1}*a$$a^{n}=a^{n-1}*a$, e se $n<0$$n<0$, $(a^{n})^{-1}=a^{-n}$$(a^{n})^{-1}=a^{-n}$

 

In notazione additiva, la nozione di potenza equivale alla nozione di multiplo.

Definizione (84)

Si definisce la nozione di multiplo secondo un intero relativo. Il multiplo secondo $n=0$$n=0$ di $a$$a$ è $0_{G}$$0_{G}$. Se $n>0$$n>0$ il multiplo è $a*(n-1)+a$$a*(n-1)+a$ Se $n<0$$n<0$, $a*n=-a*(-n)$$a*n=-a*(-n)$.

 

Proposizione (85)

Valgono le proprietà delle potenze: Con $m,n$$m,n$ sono numeri relativi e vale che

1. $\forall a\in G,a^{n}*a^{m}=a^{n+m}$$\forall a\in G,a^{n}*a^{m}=a^{n+m}$
2. $(a^{m})^{n}=a^{mn}$$(a^{m})^{n}=a^{mn}$

Se $m$$m$ e $n$$n$ sono positivi il risultato si ricava dai monoidi.

Anche nei gruppi $a^{n}*b^{n}\neq (ab)^{n}$$a^{n}*b^{n}\neq (ab)^{n}$ e sono uguali solo se $\ast$$\ast$ è commutativa.