Congruenze in un gruppo

Classi rispetto a una congruenza[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme con un'operazione binaria, considero le relazioni compatibili con l'operazione . Queste permettono di indurre in modo naturale un'operazione sul quoziente, che eredita parte delle proprietà di .


In un gruppo le congruenze si possono caratterizzare in modo significativo. Conoscendo la classe che contiene l'unità, detta nucleo, si possono determinare le altre classi della congruenza.


Proposizione (165)

Sia una congruenza in un gruppo . Allora:

  1. la classe d'equivalenza che contiene l'unità è un sottogruppo di ;
  2. per ogni , allora è il laterale destro che coincide con laterale sinistro

(i laterali si possono definire perché per il punto 1 è un sottogruppo). In particolare .

 
Dimostrazione

Dimostriamo che la classe che contiene l'unità è un sottogruppo, usando la definizione:

  1. ovviamente la classe dell'unità contiene l'unità;
  2. siano due elementi entrambi associati all'unità cioè tali che e .

Siccome è una congruenza da questo segue che . Con questo si dimostra che la classe dell'unità è chiusa rispetto al prodotto;

  1. sia ora . Dal fatto che se considero che appartiene a si può scrivere

( è riflessiva), allora cioè e per simmetria .

In conclusione è un sottogruppo di .


Proviamo che per ogni , coincide con il laterale destro del sottogruppo . Dimostro la doppia inclusione.


Prendo un elemento . Se , allora . Allora cioè . Questo significa che esiste tale che , cioè . Ogni .


Inversamente, prendo un elemento del laterale destro. Allora dal fatto che segue che (per la proprietà di contruenza e per il fatto che ). Ovvero cioè . Si concude che .


Ora si dimostra che il laterale destro e quello sinistro coincidono. Allora . Sia , allora implica ovvero . Allora . Dunque la classe di equivalenza è contenuta nel laterale sinistro . Viceversa, per ogni , allora implica che , ovvero .


Dunque si conclude che e . Abbiamo provato che .

 

Nucleo[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (166 Nucleo)

Il sottogruppo si dice nucleo della congruenza . In un gruppo l'intera congruenza è completamente determinata dal suo nucleo, perché conoscendo e volendo calcolare la classe che contiene , basta calcolare il laterale .

 

Sottogruppo normale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (167 Sottogruppo normale)

Un sottogruppo di un gruppo si dice normale in se , ovvero .

 


Osservazione (168)

Un gruppo ha sempre almeno due sottogruppi normali, cioè quelli banali. Il sottogruppo ridotto alla sola unità e l'intero gruppo sono ovviamente normali.


Un gruppo che ha come ordine un numero primo, non ha sottogruppi non banali: questo segue dal teorema di Lagrange, perché in questo caso non ha divisori e quindi non può avere sottogruppi di ordine inferiore. In questo caso il gruppo è ciclico (il sottogruppo generato da ogni elemento deve coincidere necessariamente con il gruppo, perché non può avere ordine inferiore).


Un gruppo che non ha sottogruppi non banali ha come ordine un numero primo.

 


Osservazione (169)

Se è abeliano, ogni sottogruppo di è normale (gli elementi commutano e quindi necessariamente le relazioni coincidono).


Più in generale, in un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale. Non vale viceversa (esempio: gruppo dei quaternioni di ordine ).

 


Esempio (170)

In abbiamo considerato il gruppo trirettangolo e quello alterno che sono normali, ma ad esempio il gruppo ciclico generato da non è normale.

 


Definizione (171 Gruppo semplice)

In generale un gruppo in cui non ci siano sottogruppi normali non banali si dice semplice. Attraverso i gruppi semplici si possono costruire tutti i gruppi finiti.

 


Esempio (172)

Il gruppo alterno su oggetti, se è un gruppo semplice. Questo dipende dal fatto che l'equazione generale di grado non ha una formula risolutiva.

 


Osservazione (173)

Abbiamo provato sopra che il nucleo di una congruenza in un gruppo è normale in , infatti .

 

Questa osservazione si inverte, infatti siamo in grado di provare la seguente

Proposizione (174)

Sia un sottogruppo normale di e sia la relazione tale che . Allora è una congruenza su e il suo nucleo è il sottogruppo .

 
Dimostrazione

Per la definizione di sottogruppo normale, poiché , allora due elementi sono associati nella se e solo se , cioè tale che e , cioè esiste tale che , per opportuni .


Proviamo che è compatibile con l'operazione di prodotto definita su . Siano tali che e . Allora e .


Segue che . Con la proprietà associativa ho messo in evidenza l'elemento che sta in ma . Allora posso spostare a destra e scrivere , con , cioè . Allora il prodotto è associato ad nella , perché appartiene ad .


Il nucleo è il laterale . Quindi il nucleo è . Ogni sottogruppo normale è il nucleo di una congruenza.

 



Se considero una qualsiasi congruenza e associo il nucleo che la determina completamente, esso è un sottogruppo normale di . Esiste quindi una biezione tra l'insieme delle congruenze su e l'insieme dei sottogruppi normali di . Determinare i sottogruppi normali di un gruppo equivale a determinare le congruenze.

Criterio per i gruppi normali[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di normalità di un sottogruppo si può stabilire in seguito al seguente criterio:

Proposizione (175 Criterio per i gruppi normali)

Un sottogruppo è normale se e solo se allora . (equivalentemente, non si esce da coniugando un qualsiasi elemento di con un qualsiasi elemento di ).

 
Dimostrazione

Supponiamo che sia normale in , allora per ogni si ha . Allora per ogni , se considero è anche un elemento del laterale sinistro e deve poter essere scritto come . Allora moltiplicando per l'inverso di ottengo .


Viceversa, supponiamo che (condizione 1) per ogni e per ogni . Allora implica ( è un elemento di ). Dalla prima condizione segue subito che (lo si verifica moltiplicando a sinistra per l'uguaglianza), allora . Siccome per un generico si ha segue che (questa volta si moltiplica per a destra), ovvero che il laterale sinistro è contenuto nel laterale destro. Le due inclusioni e implicano .

 


Esempio (176)

Prendo gruppo di tutte le applicazioni lineari invertibili rispetto all'operazione di composizione. Uno dei sottogruppi notevoli è il sottogruppo speciale lineare delle applicazioni di determinante . Questo sottogruppo è normale. Infatti il determinante di e quindi .

 
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