Sia
un sottogruppo di
. Allora ad
sono associabili due relazioni di equivalenza:
: Se
sono elementi di
,
se esiste
tale che 
:
se esiste
tale che 
Se il gruppo è abeliano queste due relazioni sono sempre equivalenti.
Se in un gruppo non abeliano queste relazioni sono equivalenti, allora si ha un gruppo normale.
Lemma (156)
e
sono relazioni di equivalenza su
.
Dimostrazione
Il fatto che queste relazioni sono di equivalenza dipende dal fatto che
è un sottogruppo.
- Se
, allora
e ho trovato un
per cui la proprietà riflessiva vale con 
- se
, allora esiste
tale che
, ma posso moltiplicare per l'inverso di
i termini di quest'uguaglianza e
ottengo
, quindi ho trovato un elemento
di
tale che vale la simmetria;
- la transitività dipende dalla chiusura di
rispetto al prodotto: se
e
,
allora esiste
tale che
ed esiste
tale che
, quindi
e
è associato a
.
è la classe che contiene l'elemento
e consiste di tutti i soli i
in
che si possono scrivere come
, cioè

,
ci sono tutti i prodotti degli elementi di

per

, quindi chiamo la classe di equivalenza di

con

.
In notazione additiva,
equivale a
e il simbolo della classe di equivalenza che contiene
sarebbe
.
La classe che contiene
rispetto alla relazione
consiste di

,
e la classe di equivalenza che contiene

si denota col simbolo

oppure in notazione additiva con

.
Definizione (157 Laterali)
Le classi di equivalenza della relazione
si dicono laterali destri del sottogruppo
in
, mentre
le classi di equivalenza della relazione
si dicono laterali sinistri di
in
(equivalgono all'insieme quoziente della
relazione
su
).
è unione disgiunta dei laterali destri di
in
(è unione disgiunta delle classi di equivalenza).
Non tutti i laterali sono sottogruppi:
è un laterale di sé stesso ed è l'unico laterale che contiene l'unità;
quindi se ci sono altri laterali non possono essere sottogruppi.
Prendo
e
laterali destri. Si ha che
se e solo se
.
Infatti in questo modo
quindi
e
, allora anche l'inverso di
che è
. Si ha anche
e quindi
, quindi
In notazione additiva due laterali coincidono se e solo se la differenza
è un elemento di
.
Nel caso sinistro,
se e solo se
, quindi
.
Ci sono due partizioni di
, quella dei laterali destri e quella dei laterali sinistri di
. Se le due partizioni coincidono
allora
.
Può succedere che
coincida con
oppure no.
Il più piccolo gruppo non abeliano in cui le due relazioni non coincidono è il gruppo simmetrico di
oggetti.
Esempio (159)
Nel gruppo
prendo il sottogruppo generato dallo scambio
che consiste dell'identità e di
. Se calcolo
e
sono diverse, perché le partizioni dei laterali destri e sinistri di questi
elementi sono diverse.
Laterali destri di
:





Per
si trova una partizione diversa di
.





Esempio (160)
Nel gruppo
, se prendo come sottogruppo
, le due partizioni coincidono. Si ha
.
In generale, in ogni gruppo finito in cui si prende un sottogruppo tale che il numero dei laterali ha indice
si ha che le due relazioni coincidono (cioè, ogni sottogruppo che ha la metà degli elementi del gruppo è normale (le due relazioni coincidono).
I laterali destri di
sono due:
che è il laterale che contiene l'unità, e
dove
è una permutazione dispari, non appartenente ad
.
I laterali sinistri sono
e
, con
.
La partizione consiste di due oggetti in entrambe le relazioni.
Per ogni
i due laterali destri sono disgiunti e la loro unione è uguale ad
.
Esempio (161)
Preso il gruppo
con
, allora
è un sottogruppo normale. Anche il sottogruppo costituito da
e dai prodotti
di due scambi disgiunti
chiamato gruppo trirettangolo è un gruppo normale.
Anche in questo caso si vede che le due relazioni
e
coincidono.
Esclusi questi due gruppi e i sottogruppi banali, non ci sono altri sottogruppi normali in
.
Teorema (162)
Sia
un gruppo finito di ordine
e sia
un sottogruppo di
di ordine
.
Allora
è un divisore dell'ordine del gruppo, cioè
.
Dimostrazione
Per ogni fissato elemento
, consideriamo l'applicazione
che manda ogni
nel prodotto
. (non cambia niente se si considera il laterale sinistro, infatti il numero dei laterali destri e quello dei laterali sinistri è uguale)
Ogni elemento del laterale
è della forma
con
, quindi
è suriettiva per definizione: preso un qualsiasi elemento
esso ha una preimmagine mediante
.
Inoltre
è iniettiva, per la validità delle leggi di cancellazione del gruppo: presi due elementi
che abbiano la stessa immagine si ha
e cancellando
si ottiene
.
Siccome l'applicazione è biettiva, allora per ogni fissato
la cardinalità di
coincide con quella di
.
I laterali sono un numero finito
, allora
. Siccome tutti i laterali hanno la stessa cardinalità, allora
. Ci sono quindi
laterali con cardinalità
(uguale a quella di
), quindi
, quindi
.
Abbiamo anche provato che l'ordine del gruppo è uguale all'ordine del sottogruppo per il numero dei laterali.
Corollario (163)
Sia
come sopra e sia
un qualsiasi elemento di
.
Allora il periodo di
è un divisore dell'ordine del gruppo (equivalentemente,
).
Dimostrazione
Se
ha periodo
, allora il sottogruppo ciclico generato da
ha ordine
e si ha che
.
Allora per il teorema di Lagrange l'ordine
del sottogruppo ciclico generato da
divide
.
Per il corollario sulla funzione potenza, se
e
,
Il teorema di Lagrange non si inverte in generale.
Il controesempio minimo è
. Infatti
ma
non contiene sottogruppi di ordine
.
Se ci fosse un sottogruppo di ordine
, conterrebbe la metà degli elementi di
e sarebbe un sottogruppo normale in
.
In alcune classi particolari di gruppi il teorema si inverte.
Ad esempio, preso un gruppo ciclico finito, per ogni divisore dell'ordine del gruppo esiste un sottogruppo che ha come ordine quel divisore.