Classi di coniugio

Definizione e osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (205 Coniugato)

Si consideri l'azione da a definita associando alla coppia di elementi di l'elemento . Questo elemento si chiama il coniugato di mediante .

 


Verifico che è un'azione e che sono soddisfatte le due proprietà:


Il morfismo associato è definito, per ogni in , . E' la permutazione che a ogni elemento associa uguale al coniugato mediante l'elemento .


Ad viene associata l'immagine . Se denota la rappresentazione regolare, questo equivale a fare .

in_g come automorfismo[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (206)

La permutazione è un isomorfismo di in sé, perché conserva il prodotto.

(moltiplicare per equivale a moltiplicare per l'unità).

 



Rispetto alla composizione di morfismi, l'insieme di tutti gli automorfismi su un gruppo è un gruppo. In altre parole, il morfismo che a ogni associa con tale che dà luogo a un sottogruppo del gruppo degli automorfismi di in sé.


Esercizio (207)

Provare che è un sottogruppo normale di .

 


Definizione (208 Automorfismi interni)

Gli automorfismi di realizzati mediante coniugio si chiamano interni. è un sottogruppo degli automorfismi interni di .

 



Si può considerare il quoziente l'automorfo esterno di .


Teorema (209)

Preso il gruppo simmetrico per ogni fissato, esso non ha automorfismi esterni, tranne nel caso in cui .

 

Centro di in_g[modifica | modifica wikitesto]

Il nucleo del morfismo che a associa l'azione è l'insieme degli elementi tali che , cioè tali che per ogni , che equivale a dire ( commuta con ).

Definizione (210 Centro di $in_g$)

Il nucleo del morfismo è l'insieme di tutti e soli gli che sono permutabili con ogni elemento di . Questo è il centro di che si indica con .

 
Osservazione (211)

Il centro, essendo un nucleo, è un gruppo normale.


se e solo se il gruppo è abeliano e in tal caso l'azione per coniugio è banale.

 


Esempio (212)

Considero il gruppo gruppo generale lineare di tutte le matrici invertibili. Il centro è ridotto ai multipli dell'identità.

 


In alcuni gruppi è iniettivo.

Esempio (213)

In con il centro è ridotto all'identità. Si verifica calcolando le classi di coniugio.

 


Definizione (214 Sottogruppo coniugato)

Se prendo un sottogruppo di un gruppo , faccio agire gli elementi di associando ad il sottogruppo . Tale sottogruppo è chiamato sottogruppo coniugato di mediante l'elemento .

 
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