Definizione (205 Coniugato)
Si consideri l'azione
definita associando alla coppia
di elementi di
l'elemento
. Questo elemento si chiama il coniugato di
mediante
.
Verifico che
sia un'azione e che sono soddisfatte le due proprietà:



Il morfismo associato
è definito, per ogni
in
,
.
E' la permutazione che a ogni elemento associa
uguale al coniugato mediante l'elemento
.
Ad
viene associata l'immagine
. Se
denota la rappresentazione regolare, questo equivale a fare
.
La permutazione
è un isomorfismo di
in sé, perché conserva il prodotto.

(moltiplicare per

equivale a moltiplicare per l'unità).
Rispetto alla composizione di morfismi, l'insieme di tutti gli automorfismi su un gruppo
è un gruppo.
In altre parole, il morfismo che a ogni
associa
con
tale che
dà luogo a un sottogruppo del gruppo
degli automorfismi di
in sé.
Esercizio (207)
Provare che
è un sottogruppo normale di
.
Definizione (208 Automorfismi interni)
Gli automorfismi
di
realizzati mediante coniugio si chiamano interni.
è un sottogruppo degli automorfismi interni di
.
Si può considerare il quoziente
l'automorfo esterno di
.
Teorema (209)
Preso il gruppo simmetrico
per ogni
fissato, esso non ha automorfismi esterni, tranne nel caso in cui
.
Il nucleo del morfismo
che a
associa l'azione
è
l'insieme degli elementi
tali che
, cioè tali che
per ogni
,
che equivale a dire
(
commuta con
).
Definizione (210 Centro di $in_g$)
Il nucleo del morfismo
è l'insieme di tutti e soli gli
che sono permutabili con ogni elemento di
.
Questo è il centro di
che si indica con
.
Il centro, essendo un nucleo, è un gruppo normale.
se e solo se il gruppo è abeliano e in tal caso l'azione per coniugio è banale.
Esempio (212)
Considero il gruppo
gruppo generale lineare di tutte le matrici invertibili. Il centro è ridotto ai multipli dell'identità.
In alcuni gruppi
è iniettivo.
Esempio (213)
In
con
il centro è ridotto all'identità. Si verifica calcolando le classi di coniugio.
Definizione (214 Sottogruppo coniugato)
Se prendo un sottogruppo
di un gruppo
, faccio agire gli elementi di
associando ad
il sottogruppo
.
Tale sottogruppo è chiamato sottogruppo coniugato di
mediante l'elemento
.