Classi di coniugio

Definizione e osservazioni

Definizione (205 Coniugato)

Si consideri l'azione $\phi \colon G\times G\to G$$\phi \colon G\times G\to G$ definita associando alla coppia $(g,h)$$(g,h)$ di elementi di $G$$G$ l'elemento $h^{g}=ghg^{-1}$$h^{g}=ghg^{-1}$. Questo elemento si chiama il coniugato di $h$$h$ mediante $g$$g$.

 

Verifico che $\phi$$\phi$ sia un'azione e che sono soddisfatte le due proprietà:

1. $1_{g}\cdot h=1_{g}h(1_{g})^{-1}=h$$1_{g}\cdot h=1_{g}h(1_{g})^{-1}=h$
2. $$(g_{1}g_{2})\cdot h=(g_{1}g_{2})h(g_{1}g_{2})^{-1}=g_{1}(g_{2}hg_{2}^{-1})g_{1}^{-1}$$

   $$(g_{1}g_{2})\cdot h=(g_{1}g_{2})h(g_{1}g_{2})^{-1}=g_{1}(g_{2}hg_{2}^{-1})g_{1}^{-1}$$
   $$=g_{1}(g_{2}\cdot h)g^{-1}=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot h)$$

   $$=g_{1}(g_{2}\cdot h)g^{-1}=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot h)$$

Il morfismo associato $in$$in$ è definito, per ogni $g$$g$ in $G$$G$, $in_{g}=in(g)$$in_{g}=in(g)$. E' la permutazione che a ogni elemento associa $g\cdot h$$g\cdot h$ uguale al coniugato mediante l'elemento $g$$g$.

Ad $h$$h$ viene associata l'immagine $ghg^{-1}$$ghg^{-1}$. Se $\sigma$$\sigma$ denota la rappresentazione regolare, questo equivale a fare $\sigma _{g}\circ \sigma '(g)$$\sigma _{g}\circ \sigma '(g)$.

in_g come automorfismo

Osservazione (206)

La permutazione $in_{g}$$in_{g}$ è un isomorfismo di $G$$G$ in sé, perché conserva il prodotto.

$$in_{g}(ab)=gabg^{-1}=gag^{-1}gbg^{-1}=(gag^{-1})(gbg^{-1})=in_{g}(a)*in_{g}(b)$$

$$in_{g}(ab)=gabg^{-1}=gag^{-1}gbg^{-1}=(gag^{-1})(gbg^{-1})=in_{g}(a)*in_{g}(b)$$

(moltiplicare per $g^{-1}*g$$g^{-1}*g$ equivale a moltiplicare per l'unità).

 

Rispetto alla composizione di morfismi, l'insieme di tutti gli automorfismi su un gruppo $G$$G$ è un gruppo. In altre parole, il morfismo che a ogni $g$$g$ associa $\sigma _{g}$$\sigma _{g}$ con $\sigma _{g}\colon G\to G$$\sigma _{g}\colon G\to G$ tale che $\sigma _{g}(h)=ghg^{-1}$$\sigma _{g}(h)=ghg^{-1}$ dà luogo a un sottogruppo del gruppo $autG$$autG$ degli automorfismi di $G$$G$ in sé.

Esercizio (207)

Provare che $in_{g}$$in_{g}$ è un sottogruppo normale di $autG$$autG$.

 

Definizione (208 Automorfismi interni)

Gli automorfismi $in_{g}$$in_{g}$ di $G$$G$ realizzati mediante coniugio si chiamano interni. $In_{G}$$In_{G}$ è un sottogruppo degli automorfismi interni di $G$$G$.

 

Si può considerare il quoziente ${\frac {autG}{in_{G}}}$${\frac {autG}{in_{G}}}$ l'automorfo esterno di $G$$G$.

Teorema (209)

Preso il gruppo simmetrico $S_{n}$$S_{n}$ per ogni $n$$n$ fissato, esso non ha automorfismi esterni, tranne nel caso in cui $n=6$$n=6$.

 

Centro di in_g

Il nucleo del morfismo $In$$In$ che a $g$$g$ associa l'azione $\sigma _{g}=ghg^{-1}$$\sigma _{g}=ghg^{-1}$ è l'insieme degli elementi $g\in G$$g\in G$ tali che $in_{g}=id$$in_{g}=id$, cioè tali che $ghg^{-1}=h$$ghg^{-1}=h$ per ogni $h\in H$$h\in H$, che equivale a dire $gh=hg$$gh=hg$ ($h$$h$ commuta con $g$$g$).

Definizione (210 Centro di $in_g$)

Il nucleo del morfismo $in_{g}$$in_{g}$ è l'insieme di tutti e soli gli $h\in G$$h\in G$ che sono permutabili con ogni elemento di $G$$G$. Questo è il centro di $G$$G$ che si indica con $Z_{g}$$Z_{g}$.

 

Osservazione (211)

Il centro, essendo un nucleo, è un gruppo normale.

$z_{g}=G$$z_{g}=G$ se e solo se il gruppo è abeliano e in tal caso l'azione per coniugio è banale.

 

Esempio (212)

Considero il gruppo $GL(n,F)$$GL(n,F)$ gruppo generale lineare di tutte le matrici invertibili. Il centro è ridotto ai multipli dell'identità.

 

In alcuni gruppi $in_{g}$$in_{g}$ è iniettivo.

Esempio (213)

In $S_{n}$$S_{n}$ con $n>2$$n>2$ il centro è ridotto all'identità. Si verifica calcolando le classi di coniugio.

 

Definizione (214 Sottogruppo coniugato)

Se prendo un sottogruppo $H$$H$ di un gruppo $G$$G$, faccio agire gli elementi di $G$$G$ associando ad $H$$H$ il sottogruppo $gHg^{-1}$$gHg^{-1}$. Tale sottogruppo è chiamato sottogruppo coniugato di $H$$H$ mediante l'elemento $g$$g$.