Radici di un polinomio

Anello delle funzioni

Sia $X$$X$ un insieme non vuoto. Allora possiamo considerare l'insieme $Y^{X}$$Y^{X}$ di tutte le applicazioni da $X$$X$ a $Y$$Y$. Sia $A$$A$ un anello. Allora con $A^{X}$$A^{X}$ si indica l'insieme di tutte le applicazioni da $X$$X$ ad $A$$A$. Allora possiamo definire una somma e un prodotto.

1. Per ogni $f,g\in A^{X}$$f,g\in A^{X}$, la somma $f+g$$f+g$ è tale che $\forall x\in X$$\forall x \in X$, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ (la somma delle immagini si può definire

perché le immagini sono elementi di $A$$A$).

1. Analogamente il prodotto $(fg)(x)$$(fg)(x)$ ha come risultato il prodotto delle immagini $f(x)*g(x)\in A$$f(x)*g(x)\in A$.

Si dà così a $A^{X}$$A^{X}$ una struttura di anello: l'anello delle funzioni da $X$$X$ ad $A$$A$.

Nel caso particolare in cui $X=\{1,2,n\}$$X=\{1,2,n\}$, allora l'anello delle funzioni da $X$$X$ ad $A$$A$ è isomorfo ad $A^{n}$$A^{n}$. $A$$A$ è un anello commutativo e indichiamo con $A[x]$$A[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in $A$$A$.

Funzione polinomiale

Definizione (341 Funzione polinomiale)

Se $f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+a_{1}*x+a_{0}$$f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+a_{1}*x+a_{0}$ definiamo una funzione associata $F\colon A\to A$$F\colon A\to A$ tale che $\forall \alpha \in A$$\forall \alpha \in A$, $F(\alpha )=a_{n}*\alpha ^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+\dots +a_{1}*\alpha +a_{0}$$F(\alpha )=a_{n}*\alpha ^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+\dots +a_{1}*\alpha +a_{0}$ (si sostituisce all'indeterminata $x$$x$ uno scalare $\alpha \in A$$\alpha \in A$). Questa funzione $F$$F$ si dice funzione polinomiale associata al polinomio $f$$f$. Per abuso di linguaggio, scriveremo $f(\alpha )$$f(\alpha )$ invece di $F(\alpha )$$F(\alpha )$.

 

Lemma (342)

Consideriamo l'applicazione $\phi \colon A[x]\to A^{A}$$\phi \colon A[x]\to A^{A}$ definita ponendo, per ogni $f(x)\in A[x]$$f(x)\in A[x]$:

$$\phi (f(x))=F(x)$$

$$\phi (f(x))=F(x)$$

è l'applicazione che a ogni polinomio associa la sua applicazione polinomiale. $\phi$$\phi$ è un morfismo di anelli tra l'anello dei polinomi e l'anello delle funzioni polinomiali. ($\phi$$\phi$ associa alla somma e al prodotto di polinomi rispettivamente la somma e il prodotto delle funzioni polinomiali).

 

Nella dimostrazione si tiene conto del fatto che $x$$x$ e $\alpha$$\alpha$ commutano con tutte le costanti.

Dimostrazione

Siano $a(x)=a_{n}*x^{n}+a_{1}*x+a_{0}$$a(x)=a_{n}*x^{n}+a_{1}*x+a_{0}$ e $b(x)=b_{b}*x^{n}+b_{1}*x+b_{0}$$b(x)=b_{b}*x^{n}+b_{1}*x+b_{0}$ due polinomi, allora:

$$\phi (a(x)+b(x))=\phi (a_{n}*x^{n}+\dots +a_{1}*x+a_{0}+b_{n}*x^{n}+\dots +b_{1}*x+b_{0})=a_{n}*\alpha ^{n}+b_{n}*\alpha ^{n}+$$

$$\phi (a(x)+b(x))=\phi (a_{n}*x^{n}+\dots +a_{1}*x+a_{0}+b_{n}*x^{n}+\dots +b_{1}*x+b_{0})=a_{n}*\alpha ^{n}+b_{n}*\alpha ^{n}+$$

$$+\dots +a_{1}*\alpha +b_{1}*\alpha +a_{0}+b_{0}=(a_{n}+b_{n})x^{n}+\dots +(a_{1}+b_{1})*\alpha +a_{0}+b_{0}=(a+b)(\alpha )$$

$$+\dots +a_{1}*\alpha +b_{1}*\alpha +a_{0}+b_{0}=(a_{n}+b_{n})x^{n}+\dots +(a_{1}+b_{1})*\alpha +a_{0}+b_{0}=(a+b)(\alpha )$$

 

In particolare, per il lemma preso un polinomio $f(x)=a(x)*b(x)$$f(x)=a(x)*b(x)$, allora calcolando $f(\alpha )$$f(\alpha )$ si ha $f(\alpha )=a(\alpha )*b(\alpha )$$f(\alpha )=a(\alpha )*b(\alpha )$ (il valore della funzione polinomiale su $\alpha$$\alpha$ è uguale al valore del prodotto delle immagini).

Omomorfismo di valutazione

Supponiamo di avere una qualsiasi estensione di anelli $A\subset B$$A \subset B$. Allora possiamo considerare l'anello $A[x]$$A[x]$ che è un sottoanello di $B[x]$$B[x]$. Allora per ogni $f(x)\in A[x]$$f(x)\in A[x]$ e per ogni $b\in B$$b\in B$, possiamo considerare l'elemento $f(b)$$f(b)$ che è un elemento di $B$$B$, cioè valutare $f(x)\in B$$f(x)\in B$.

Definizione (343 Omomorfismo di valutazione)

La mappa $B_{b}$$B_{b}$ da $A[x]\to B$$A[x]\to B$ definita ponendo $B_{b}(f(x))=f(b)$$B_{b}(f(x))=f(b)$ per ogni $f(x)\in A[x]$$f(x)\in A[x]$, è un morfismo di anelli e si chiama omomorfismo di valutazione.

 

Osservazione (344)

Considerando l'omomorfismo $\phi$$\phi$, esso in generale non è iniettivo. Preso un anello commutativo generico non è necessariamente vero che due polinomi distinti hanno funzioni polinomiali distinte.

Se $A$$A$ è finito, l'anello delle funzioni di $A$$A$ in sé è finito, mentre il dominio di $\phi$$\phi$ è infinito perché i polinomi possono avere tutti i gradi possibili, quindi $\phi$$\phi$ va da un insieme infinito a uno finito e non può essere iniettivo. Ad esempio, se $A$$A$ è finito l'anello $A^{A}$$A^{A}$ è finito e quindi il nucleo non può essere ridotto a zero.

 

Esempio (345)

Supponiamo che $A$$A$ sia ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$, il campo delle classi di resti modulo $p$$p$ con $p$$p$ primo. Allora tutte le classi hanno inverso rispetto al prodotto, cioè $U=(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$$U=(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$, cioè gli elementi unitari sono tutte le classi di resti $[a]_{p}$$[a]_{p}$ diverse dalla classe $[0]$$[0]$, cioè con $a$$a$ coprimo con $p$$p$. Per il teorema di Lagrange presa una qualsiasi classe $[a]_{p}$$[a]_{p}$ diversa dalla classe $[0]$$[0]$, $[a]_{p}^{p-1}=1_{A}$$[a]_{p}^{p-1}=1_{A}$ (in termini di congruenze, se $p$$p$ è un primo arbitrario e $a$$a$ un intero coprimo con $p$$p$, allora $a^{p-1}\equiv 1\mod p$$a^{p-1}\equiv 1\mod p$) (teorema di Fermat).

Possiamo concludere che comunque si scelga un elemento $[a]_{p}$$[a]_{p}$ nel campo ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$, allora se considero $([a]_{p})^{p}-[a]_{p}=[a]_{p}*\{([a]_{p})^{p-1}-1_{P}\}=0_{p}$$([a]_{p})^{p}-[a]_{p}=[a]_{p}*\{([a]_{p})^{p-1}-1_{P}\}=0_{p}$. Infatti se $[a]_{p}=0$$[a]_{p}=0$ il primo termine del prodotto è nullo e quindi il tutto è uguale a 0. Se invece $[ap]\neq 0$$[ap]\neq 0$, allora $[a]_{p}^{p-1}\equiv 1\mod p$$[a]_{p}^{p-1}\equiv 1\mod p$ e $1_{A}-1_{A}=0$$1_{A}-1_{A}=0$ e anche in questo caso il prodotto si annulla.

Ciò significa che la funzione polinomiale associata al polinomio di grado $p$$p$$x^{p}-x$$x^{p}-x$ è la funzione identicamente nulla, cioè coincide con la funzione polinomiale associata al polinomio nullo.

 

Radice di un polinomio

Definizione (346 Radice di un polinomio)

Sia $A\subset B$$A \subset B$ un'estensione di anelli e sia $\alpha$$\alpha$ un elemento di $B$$B$. Se $P_{\alpha }$$P_{\alpha }$ è l'omomorfismo di valutazione in $\alpha$$\alpha$, allora se $P_{\alpha }(f(x))=0$$P_{\alpha }(f(x))=0$, diremo che $\alpha$$\alpha$ è una radice o zero del polinomio $f(x)\in B$$f(x)\in B$.

 

Teorema di Ruffini

Sia ora $A=F$$A=F$ un campo. Allora vale il seguente teorema.

Teorema (347)

Sia $F$$F$ un campo e $f(x)$$f(x)$ un polinomio a coefficienti in $F$$F$. Allora $\alpha$$\alpha$ è radice di $f(x)$$f(x)$ se e solo se $x-\alpha \mid f(x)$$x-\alpha \mid f(x)$.

 

Dimostrazione

Supponiamo che $x-\alpha$$x-\alpha$ divida $f(x)$$f(x)$, cioè $f(x)=(x-\alpha )*q(x)$$f(x)=(x-\alpha )*q(x)$. Allora se valuto in $\alpha$$\alpha$$f(x)$$f(x)$, si ha $f(\alpha )=(\alpha -\alpha )*q(\alpha )=0$$f(\alpha )=(\alpha -\alpha )*q(\alpha )=0$. Allora $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$ ovvero $\alpha$$\alpha$ è radice di $f(x)$$f(x)$.

Viceversa, supponiamo che $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$. Allora possiamo dividere $f(x)$$f(x)$ per $x-\alpha$$x-\alpha$ e otteniamo:

$$f(x)=(x-\alpha )*q(x)+r(x)$$

$$f(x)=(x-\alpha )*q(x)+r(x)$$

dove $r(x)$$r(x)$ ha grado minore di $gr(x-\alpha )<1$$gr(x-\alpha )<1$. Allora

$$0=f(\alpha )=(\alpha -\alpha )*q(\alpha )+r(\alpha )$$

$$0=f(\alpha )=(\alpha -\alpha )*q(\alpha )+r(\alpha )$$

per il morfismo $\phi$$\phi$. Siccome $\alpha -\alpha =0$$\alpha -\alpha =0$ rimane $r(\alpha )$$r(\alpha )$. Allora $r(x)=r$$r(x)=r$ è una costante ed è un elemento di $F$$F$. Allora valutando $r$$r$ in $\alpha$$\alpha$, ottengo sempre $r$$r$. Quindi si ha $0=f(\alpha )=r$$0=f(\alpha )=r$ e $0=r$$0=r$, cioè il resto è nullo, quindi $f(x)=(x-\alpha )*q(x)$$f(x)=(x-\alpha )*q(x)$, cioè se $x$$x$ è una radice, $x-\alpha$$x-\alpha$ divide $f(x)$$f(x)$.

 

Relazione tra radici e riducibilità

Corollario (348)

Se un polinomio $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ ha grado maggiore di $1$$1$ e ha una radice $\alpha \in F$$\alpha \in F$, allora è riducibile su $F$$F$ (infatti ha almeno il fattore $x-\alpha$$x-\alpha$).

 

Osservazione (349)

Un polinomio di grado $1$$1$$a_{1}*x+a_{0}$$a_{1}*x+a_{0}$ in $f(x)$$f(x)$ con $a_{1}\neq 0$$a_1 \neq 0$ ha un'unica radice $-a_{1}^{-1}*a_{0}\in F$$-a_{1}^{-1}*a_{0}\in F$ ed è irriducibile.

 

Corollario (350)

Se $f(x)$$f(x)$ è un polinomio a coefficienti in $F$$F$ di grado $2$$2$ o $3$$3$ è riducibile se e solo se ammette una radice in $F$$F$.

 

Dimostrazione

Un polinomio riducibile di grado $2$$2$ è fattorizzabile nel prodotto di due polinomi di grado $1$$1$. Un polinomio di grado $3$$3$ invece viene fattorizzato in tre polinomi di grado $1$$1$ o un polinomio di grado $2$$2$ e uno di grado $1$$1$. Il fattore di grado $1$$1$ che compare si può scrivere come $a_{1}*x+a_{0}$$a_{1}*x+a_{0}$. Allora $-a^{-1}*a_{0}$$-a^{-1}*a_{0}$ è una radice.

 

Osservazione (351)

Un polinomio $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ può essere riducibile in $F[x]$$F[x]$ ma non ammettere alcuna radice in $F[x]$$F[x]$.

 

Esempio (352)

Il polinomio a coefficienti reali

$$f(x)=x^{4}+3x^{2}+2=(x^{2}+1)(x^{2}+2)$$

$$f(x)=x^{4}+3x^{2}+2=(x^{2}+1)(x^{2}+2)$$

E' un polinomio riducibile di grado $4$$4$, ma i suoi fattori di grado $2$$2$ sono irriducibili e quindi il polinomio non ha radici.

 

Molteplicità di una radice

Definizione (353 Molteplicità di una radice e radice semplice)

Sia $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ un polinomio e sia $\alpha$$\alpha$ una costante. Diremo che $\alpha$$\alpha$ è radice di $f(x)$$f(x)$ di molteplicità$r$$r$ con $r\geq 1$$r\geq 1$ se $(x-\alpha )^{r}\mid f(x)$$(x-\alpha )^{r}\mid f(x)$ ma $(x-\alpha )^{r+1}\nmid f(x)$$(x-\alpha )^{r+1}\nmid f(x)$. Se $r=1$$r=1$$\alpha$$\alpha$ si dice radice semplice.

 

Questa definizione vale in forza del teorema di Ruffini e del teorema di fattorizzazione unica.

Esempi

Esempio (354)

In $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$$x^{4}-2x^{2}+1$$x^{4}-2x^{2}+1$ è fattorizzabile come $(x+1)^{2}*(x-1)^{2}$$(x+1)^{2}*(x-1)^{2}$. A meno di fattori unitari, questa fattorizzazione completa del polinomio è unica. Allora il polinomio ha esattamente $2$$2$ radici (altrimenti comparirebbe un altro fattore) con molteplicità $2$$2$.

 

Esempio (355)

$$p(x)=x^{5}-x^{4}-7x^{3}+11x^{2}-8x+12=(x-2)^{2}*(x+3)*(x^{2}+1)$$

$$p(x)=x^{5}-x^{4}-7x^{3}+11x^{2}-8x+12=(x-2)^{2}*(x+3)*(x^{2}+1)$$

Nella fattorizzazione c'è un fattore irriducibile sui razionali e tre fattori lineari. Le radici sono $2$$2$ con molteplicità $2$$2$ e $-3$$-3$ con molteplicità $1$$1$.

 

Esempio (356)

Nel campo delle classi di resto modulo $2$$2$, che chiamo ${\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}$,

$$p(x)=x^{4}+1=(x+1)^{4}$$

$$p(x)=x^{4}+1=(x+1)^{4}$$

ha come radice solo $1$$1$ con molteplicità $4$$4$.

$$p(x)=x^{3}+x+1$$

$$p(x)=x^{3}+x+1$$

non ha radici in ${\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}$ infatti

$$p(0)=1\,p(1)=3$$

$$p(0)=1\,p(1)=3$$

e essendo un polinomio di grado $3$$3$ è anche irriducibile in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$.

 

Esempio (357)

Considero il campo delle classi di resto modulo $p$$p$ con $p$$p$ numero primo arbitrario fissato. Considero il polinomio:

$$p(x)=x^{p}-x$$

$$p(x)=x^{p}-x$$

esso ha come radici semplici tutti gli elementi del campo ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ e quindi è fattorizzabile nella forma:

$$x^{p}-x=\prod _{s=0}^{p-1}(x-s)$$

$$x^{p}-x=\prod _{s=0}^{p-1}(x-s)$$

.

 

Conseguenza del teorema di fattorizzazione unica

Teorema (358)

Sia $f(x)$$f(x)$ un polinomio non nullo a coefficienti in $F$$F$ con grado $n$$n$. Allora la somma delle molteplicità delle eventuali radici di $f(x)$$f(x)$ in $F$$F$ non supera $n$$n$.

 

Dimostrazione

Se $n=0$$n=0$, $f(x)=a_{0}$$f(x)=a_{0}$ con $a_{0}\neq 0$$a_{0}\neq 0$. Questo polinomio vale $a_{0}$$a_0$ su qualsiasi elemento di $F$$F$ e quindi non ha radici.

Supponiamo $n>0$$n>0$. Allora vale il teorema di fattorizzazione unica, allora $f(x)$$f(x)$ è decomponibile in modo unico in fattori irriducibili in $F[x]$$F[x]$. Se nessuno di questi fattori ha grado $1$$1$, allora per il teorema di Ruffini $f(x)$$f(x)$ non ha radici in $F$$F$ e il teorema è provato. In caso contrario, sarà $\ast =f(x)=k*(x-\alpha _{1})^{r_{1}}*\dots *(x-\alpha _{t})^{r_{t}}*g_{1}(x)*g_{s}(x)$$\ast =f(x)=k*(x-\alpha _{1})^{r_{1}}*\dots *(x-\alpha _{t})^{r_{t}}*g_{1}(x)*g_{s}(x)$ con $k\in F^{*}$$k\in F^{*}$ costante non nulla, $\alpha _{1},\dots \alpha _{t}$$\alpha _{1},\dots \alpha _{t}$ elementi distinti di $F$$F$ e $g_{1}(x),\dots g_{s}(x)$$g_{1}(x),\dots g_{s}(x)$ sono eventuali polinomi (irriducibili) in $F[x]$$F[x]$ di grado maggiore di $1$$1$. Per l'unicità della fattorizzazione $\ast$$\ast$ è chiaro che $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{t}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{t}$ sono radici di $F[x]$$F[x]$ in $F$$F$ di molteplicità esattamente $r_{1},r_{t}$$r_{1},r_{t}$. E' anche evidente che $f(x)$$f(x)$ non ha altre radici in $F$$F$. Infatti, se $p(x)$$p(x)$ avesse radice $\beta$$\beta$, $x-\beta$$x-\beta$ dovrebbe comparire tra gli altri fattori. Se $\beta$$\beta$ fosse radice di $f(x)$$f(x)$ con $\beta \neq \alpha _{1},\alpha _{t}$$\beta \neq \alpha _{1},\alpha _{t}$, avremmo

$$f(\beta )=(\beta -\alpha _{1})^{r_{1}}*\dots *(\beta -\alpha _{t})_{t}^{r}*g_{1}(\beta )*g_{s}(\beta )$$

$$f(\beta )=(\beta -\alpha _{1})^{r_{1}}*\dots *(\beta -\alpha _{t})_{t}^{r}*g_{1}(\beta )*g_{s}(\beta )$$

e questo è assurdo, perché allora tutti questi fattori sono diversi da 0, i $g_{i}$$g_{i}$ non sono uguali a 0 perché sono irriducibili. Ho un prodotto di elementi diversi da 0 che non può essere uguale a zero in un dominio privo di divisori dello zero, quindi $\beta$$\beta$ non è una radice.

 

Osservazione (359)

In base all'ultimo passo della dimostrazione si capisce che il teorema precedente è falso per anelli $A[x]$$A[x]$ ove $A$$A$ non è un campo (o un dominio).

 

Esempio (360 Controesempio)

In ${\frac {\mathbb {Z} }{6\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{6\mathbb {Z} }}$$2,3$$2,3$ sono divisori dello zero. Il polinomio a coefficienti in questo anello:

$$p(x)=x^{2}-5x$$

$$p(x)=x^{2}-5x$$

è di grado $2$$2$. Si può valutarlo in tutti gli elementi e si scopre che ha $0,2,3,5$$0,2,3,5$ come radici. Il polinomio ha grado $2$$2$ ma ha quattro radici distinte.

 

Caso particolare: iniettività del morfismo phi

Corollario (361)

Sia $F$$F$ un campo (dominio) infinito. Allora l'omomorfismo di anelli $\phi \colon F[x]\to F^{F}$$\phi \colon F[x]\to F^{F}$ cioè quello che a ogni polinomio associa la sua funzione polinomiale, è iniettivo.

 

Dimostrazione

Supponiamo che $f(x)$$f(x)$ sia un polinomio che sta nel nucleo di $\phi$$\phi$. Allora la sua funzione polinomiale $f$$f$ è la funzione identicamente nulla, cioè per ogni $\alpha \in F$$\alpha \in F$, $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$. Allora se $F$$F$ è infinito, $f(x)$$f(x)$ ha infinite radici (tutti gli elementi di $F$$F$). Per il teorema precedente, $f(x)$$f(x)$ deve essere il polinomio nullo, altrimenti la somma delle molteplicità delle radici supera il suo grado. Quindi se $F$$F$ è infinito, è lecito identificare i polinomi con le funzioni polinomiali.

 

Anticipazione: preso un qualsiasi dominio, si può passare al suo campo delle frazioni, cioè si può immergere un dominio di integrità in un campo.

Principio d'identità dei polinomi

Corollario (362)

Siano $\alpha _{0},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$$\alpha _{0},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$$n+1$$n+1$ elementi distinti del campo $F$$F$. Allora valgono le seguenti asserzioni:

1. Siano $a(x),b(x)$$a(x),b(x)$ polinomi in $F[x]$$F[x]$ di grado $\leq n$$\leq n$, tali che si abbia $a(\alpha _{i})=b(\alpha _{i})$$a(\alpha _{i})=b(\alpha _{i})$ per $i=0,n$$i=0,n$. Allora i due polinomi coincidono, cioè $a(x)=b(x)$$a(x)=b(x)$.
2. Siano $\beta _{0},\dots \beta _{n}$$\beta _{0},\dots \beta _{n}$$n+1$$n+1$ elementi non necessariamente distinti nel campo $F$$F$. Allora esiste ed è unico un polinomio $l(x)$$l(x)$ a coefficienti in $F$$F$ con grado $\leq n$$\leq n$ tale che $l(\alpha _{i})=\beta _{i}$$l(\alpha _{i})=\beta _{i}$.

 

Dimostrazione

Nel punto $1$$1$, sia $f(x)=a(x)-b(x)$$f(x)=a(x)-b(x)$ allora $gr(f(x))\leq n$$gr(f(x))\leq n$ ma $f(x)$$f(x)$ ammette le $n+1$$n+1$ radici $\alpha _{0},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$$\alpha _{0},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$. Questo contraddice il teorema sulla molteplicità delle radici, e il polinomio $f(x)$$f(x)$ con le $n+1$$n+1$ radici distinte è il polinomio nullo, cioè $a(x)-b(x)=0$$a(x)-b(x)=0$ e $a(x)=b(x)$$a(x)=b(x)$.

Per il punto $2$$2$, in base al punto $1$$1$ esiste al più un polinomio di $F[x]$$F[x]$ soddisfacente le condizioni richieste. Infatti se ne esistessero due, $l_{1}(x)$$l_{1}(x)$ e $l_{2}(x)$$l_{2}(x)$ che assumono lo stesso valore sugli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$, la loro differenza $l_{1}(\alpha _{i})-l_{2}(\alpha _{i})=\beta _{i}-\beta _{i}=0$$l_{1}(\alpha _{i})-l_{2}(\alpha _{i})=\beta _{i}-\beta _{i}=0$ e la differenza avrebbe ancora $n+1$$n+1$ radici distinte ed è quindi il polinomio nullo, cioè $l_{1}(x)=l_{2}(x)$$l_{1}(x)=l_{2}(x)$.

Per quanto riguarda l'esistenza di tale polinomio, considero il polinomio

$$l(x)=\sum _{r=0}^{n}(\beta _{r}*\prod _{j\neq r}{\frac {x-\alpha _{j}}{\alpha _{r}-\alpha _{j}}})$$

$$l(x)=\sum _{r=0}^{n}(\beta _{r}*\prod _{j\neq r}{\frac {x-\alpha _{j}}{\alpha _{r}-\alpha _{j}}})$$

. (La frazione equivale a moltiplicare $(x-\alpha _{j})$$(x-\alpha _{j})$ per $(\alpha _{r}-\alpha _{j})^{-1}$$(\alpha _{r}-\alpha _{j})^{-1}$).

Ciascuno di questi prodotti ha grado minore di $n$$n$, perché è prodotto di $n$$n$ fattori lineari (si esclude il termine con $r=j$$r=j$). Sommando i termini il grado è sicuramente minore o uguale di $n$$n$ e $l(\alpha _{i})=\beta _{i}$$l(\alpha _{i})=\beta _{i}$.

Infatti, sostituendo $x$$x$ con $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$, se $i\neq r$$i\neq r$ sarà $i=j$$i=j$ per un certo $j$$j$ allora nel prodotto ci sarà un termine al numeratore della forma $\alpha _{i}-\alpha _{j}=0$$\alpha _{i}-\alpha _{j}=0$ e tutto il prodotto si annulla. Nell'unico termine del prodotto in cui $i=r$$i=r$, numeratori e denominatori si semplificano a due a due e rimane $\beta _{i}$$\beta _{i}$. L'unico termine che contribuisce alla sommatoria è $g(\alpha _{i})=\beta _{i}$$g(\alpha _{i})=\beta _{i}$.

Un polinomio di questo tipo si chiama interpolatore di Lagrange.

 

Nozione di riducibilità

Supponiamo che il campo $F$$F$ ammetta un'estensione $E$$E$, cioè un campo che lo contiene. Allora se considero l'anello dei polinomi a coefficienti in $F$$F$, $F[x]\subset E[x]$$F[x]\subset E[x]$. Allora considerato un polinomio $f(x)$$f(x)$ a coefficienti in $F$$F$, eventuali fattori irriducibili $p(x)\in F[x]$$p(x)\in F[x]$ di un polinomio $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ di grado maggiore di $1$$1$ possono essere riducibili in $E[x]$$E[x]$, così che $f(x)$$f(x)$ può essere ulteriormente fattorizzato in $E[x]$$E[x]$. Quindi la nozione di riducibilità e irriducibilità è relativa al campo in cui si pensa il polinomio.

Chiusura algebrica

In effetti, è possibile dimostrare che assegnato un campo $F$$F$ arbitrario, si può sempre trovare un'estensione di $F$$F$ con le seguenti proprietà:

• ogni polinomio di $E[x]$$E[x]$ di grado positivo e a maggior ragione ogni polinomio di $F[x]$$F[x]$ di grado positivo è fattorizzabile in polinomi

di grado $1$$1$ (polinomi lineari).

• se ${\bar {E}}$${\bar {E}}$ è un'estensione di $F$$F$ con la proprietà che ogni polinomio di grado positivo di $F[x]$$F[x]$ è fattorizzabile

in fattori lineari in $({\bar {E}})[x]$$({\bar {E}})[x]$ allora ${\bar {E}}$${\bar {E}}$ contiene un sottocampo isomorfo a $E$$E$.

Un campo $E$$E$ estensione di $F$$F$ con tale proprietà è unico a meno di isomorfismi e si dice chiusura algebrica di $F$$F$. Se $F=E$$F=E$, si dice che $F$$F$ è un campo algebricamente chiuso. In altre parole:

Definizione (363 Campo algebricamente chiuso)

Un campo $F$$F$ si dice algebricamente chiuso se valgono queste condizioni che sono tra loro equivalenti:

1. preso un qualsiasi polinomio $a(x)\in F[x]$$a(x)\in F[x]$ di grado $n>0$$n>0$ esso è fattorizzabile in esattamente $n$$n$ polinomi di grado $1$$1$ appartenenti a $F[x]$$F[x]$.
2. Equivalentemente, ogni polinomio $a(x)\in F[x]$$a(x)\in F[x]$ di grado positivo ammette almeno una radice in $F$$F$.
3. la somma delle molteplicità delle radici di ogni polinomio $a(x)\in F[x]$$a(x)\in F[x]$ di grado $n$$n$ è esattamente uguale a $n$$n$.

 

Le prime due condizioni sono equivalenti perché se un polinomio di grado $n$$n$ ammette una radice, allora è divisibile per $x-\alpha$$x-\alpha$ e si ha $p(x)=(x-\alpha )*q(x)$$p(x)=(x-\alpha )*q(x)$. Allora anche $q(x)$$q(x)$, se non è una costante, ha grado positivo e avrà anch'esso una radice allora $x-\alpha _{2}$$x-\alpha _{2}$ divide $q(x)$$q(x)$ e si va avanti così finché non si ottiene una costante e si ha $p(x)=(x-\alpha )*(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{n})$$p(x)=(x-\alpha )*(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{n})$.

Teorema fondamentale dell'algebra

Teorema (364 Teorema fondamentale dell'algebra)

Il campo complesso $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ è algebricamente chiuso ed è la chiusura algebrica del campo reale (a meno di isomorfismi la chiusura è unica).

 

Corollario (365)

Ogni polinomio $f(x)$$f(x)$ a coefficienti reali di grado positivo si decompone in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ in polinomi irriducibili di grado minore o uguale di $2$$2$.

 

Dimostrazione

Mostriamo che se $\alpha$$\alpha$ è radice di $f(x)$$f(x)$, anche ${\bar {\alpha }}$${\bar {\alpha }}$ è radice. Infatti se $\alpha$$\alpha$ è radice, $0=f(\alpha )$$0=f(\alpha )$.

$$a_{n}*\alpha ^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+a_{1}*\alpha +a_{0}=0={\bar {0}}=a_{n}*{\bar {\alpha }}^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+\dots +a_{1}*{\bar {\alpha }}+a_{0}$$

$$a_{n}*\alpha ^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+a_{1}*\alpha +a_{0}=0={\bar {0}}=a_{n}*{\bar {\alpha }}^{n}+a_{n-1}*\alpha ^{n-1}+\dots +a_{1}*{\bar {\alpha }}+a_{0}$$

e si ottiene

$$a_{n}*{\bar {\alpha }}^{n}+\dots +a_{1}+{\bar {\alpha }}=0$$

$$a_{n}*{\bar {\alpha }}^{n}+\dots +a_{1}+{\bar {\alpha }}=0$$

cioè ${\bar {\alpha }}$${\bar {\alpha }}$ è radice.

Immaginiamo che $\alpha$$\alpha$ sia complesso e non reale. Questo significa che $f(x)$$f(x)$ è divisibile per

$$(x-\alpha )(x-{\bar {\alpha }})=x^{2}-(\alpha +{\bar {\alpha }})*x+\alpha *{\bar {\alpha }}$$

$$(x-\alpha )(x-{\bar {\alpha }})=x^{2}-(\alpha +{\bar {\alpha }})*x+\alpha *{\bar {\alpha }}$$

. Allora siccome $\alpha +{\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$$\alpha +{\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$ e $\alpha *{\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$$\alpha *{\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$ ho un polinomio a coefficienti in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

 

Esempi: determinare polinomi irriducibili

In generale, preso un polinomio e un campo $F$$F$ ci si può chiedere se il polinomio ha radici, se è irriducibile e se è fattorizzabile in irriducibili.

Esempio (366)

Considero i polinomi a coefficienti complessi. Allora ogni polinomio si può decomporre in fattori lineari. I polinomi irriducibili in $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ sono tutti e soli i polinomi lineari di grado $1$$1$ della forma $a_{1}*x+a_{0}$$a_{1}*x+a_{0}$ (per il teorema fondamentale dell'algebra).

 

Esempio (367)

Nell'anello $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ i polinomi irriducibili in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ sono i polinomi lineari e i polinomi di grado $2$$2$ della forma $a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}$$a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}$ in cui $\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$$\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$ è negativo nei reali.

 

Esempio (368)

Se considero il campo dei numeri razionali, non si può dire quali siano i polinomi irriducibili, ma si sa che sono infiniti e di ogni grado $n$$n$ possibile. Sia $p$$p$ un numero intero primo e per ogni $n>0$$n>0$ il polinomio

$$f(x)=x^{n}-p$$

$$f(x)=x^{n}-p$$

è irriducibile sui razionali.

Questo si prova in generale mediante il criterio di Eisenstein.

 

Criterio di Eisenstein: sia $f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+a_{1}*x+a_{0}$$f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+a_{1}*x+a_{0}$ un polinomio a coefficienti interi. Allora se esiste un primo $p$$p$ tale che $p\mid a_{i}$$p\mid a_{i}$ per $i=0,n-1$$i=0,n-1$ ma $p\nmid a_{n}$$p\nmid a_{n}$ ($a_{n}=$$a_{n}=$ coefficiente direttivo) e $p^{2}\nmid a_{0}$$p^{2}\nmid a_{0}$, allora il polinomio $f(x)$$f(x)$ è irriducibile in $\mathbb {Q} (x)$$\mathbb {Q} (x)$.

L'esempio di prima soddisfa il criterio di Eisenstein: infatti il termine noto è $a_{0}=p$$a_{0}=p$ e non è divisibile per $p^{2}$$p^2$, il coefficiente direttivo è $1$$1$ e non è divisibile per $p$$p$, tutti gli altri coefficienti sono zeri e sono divisibili per $p$$p$.

Nella dimostrazione del criterio di Eisenstein si utilizza il Lemma di Gauss:se ho un polinomio su un campo, se raccolgo l'$M.C.D.$$M.C.D.$ tra i coefficienti ottengo un polinomio con coefficienti coprimi tra loro (primitivo). Il prodotto di due polinomi primitivi è ancora primitivo.

Il criterio di Eisenstein e il lemma di Gauss sono enunciati formalmente e dimostrati al termine del capitolo.

Esempio (369)

Supponiamo che $F={\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}(x)$$F={\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}(x)$. Allora esistono polinomi irriducibili di ogni grado possibile $n>0$$n>0$.

 

Esempi: decomposizione in fattori irriducibili

Esempio (370)

Se considero $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ non esistono algoritmi generali per determinare né gli zeri né le regole per decomporre in fattori irriducibili un polinomio $f(x)$$f(x)$ (metodi di approssimazione degli zeri, metodi di analisi numerica).

 

Esempio (371)

In $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, esiste un algoritmo generale classico che si deve a Kronecker per decomporre un polinomio in fattori irriducibili. Questo metodo usa gli interpolatori di Lagrange, ma non è efficiente.

 

Esempio (372)

In ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}[x]$${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}[x]$ esistono algoritmi di fattorizzazione di un polinomio in irriducibili efficienti derivanti dall'algoritmo Berlekamp$(1970)$$(1970)$, che si basa su metodi di algebra lineare. Si riconduce il problema della fattorizzazione alla risoluzione di sistemi lineari.

 

Criterio: Se ho un polinomio a coefficienti interi

$$a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

$$a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

una frazione $r/s$$r/s$ è radice per il polinomio se e solo se $r$$r$ divide il termine noto e $s$$s$ divide il coefficiente direttivo.

Riduzione modulo un primo

Se ho un polinomio a coefficienti interi di grado $n$$n$, prendo un primo che non divide il coefficiente direttivo. Se ad ogni coefficiente associo la corrispondente classe modulo $p$$p$, ottengo il polinomio nel campo $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. Se questo polinomio è irriducibile in quel campo, allora il polinomio originario è irriducibile sui razionali.

Esempio (373)

Considero ad esempio

$$p(x)=10x^{3}-13x-8$$

$$p(x)=10x^{3}-13x-8$$

A questo polinomio non posso applicare il criterio di Eisenstein, perché non posso trovare un primo $p$$p$ che divide il termine noto. Però se scelgo $p=3$$p=3$ riduco i coefficienti del polinomio modulo $3$$3$ e ottengo:

$$p(x)=x^{3}+2x+1$$

$$p(x)=x^{3}+2x+1$$

come polinomio a coefficienti nelle classi di resti modulo $3$$3$. Questo polinomio non ha radici in ${\frac {\mathbb {Z} }{3\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{3\mathbb {Z} }}$, infatti:

$$p(0)=1\quad p(1)=4\equiv 1\mod 3\quad p(2)=13\equiv 1\mod 3$$

$$p(0)=1\quad p(1)=4\equiv 1\mod 3\quad p(2)=13\equiv 1\mod 3$$

e quindi non ha radici nemmeno nel campo dei razionali.