Immersione di un dominio in un campo

Teorema

Ci si può chiedere se un dominio si può considerare come sottoanello di un opportuno campo.

Teorema (374)

Sia $D$$D$ un dominio. Ogni dominio $D$$D$ si può immergere in (è isomorfo a un sottoanello di) un campo $F$$F$. Esiste $D'$$D'$ sottoanello di $F$$F$ e un monomorfismo $\eta \colon D\to F$$\eta \colon D\to F$ tale che $\eta (D)=D'$$\eta (D)=D'$.

 

Dimostrazione

Cominciamo con il supporre che $D$$D$ sia già un sottoanello di un campo $E$$E$. Consideriamo il sottocampo $F$$F$ di $E$$E$ generato da $D$$D$, cioè $F$$F$ è l'intersezione di tutti i sottocampi di $E$$E$ contenenti $D$$D$.

Dimostro che $F=\{ab^{-1}\in E:a,b\in D,b\neq 0\}$$F=\{ab^{-1}\in E:a,b\in D,b\neq 0\}$. $b^{-1}$$b^{-1}$ è l'inverso di $b$$b$ in $E$$E$.

La parentesi a destra è un sottoinsieme di $F$$F$, inoltre contiene $D$$D$ perché contiene tutti gli elementi $a*(1_{D})^{-1}=a\in D$$a*(1_{D})^{-1}=a\in D$.

Inoltre, l'insieme tra parentesi graffe è un sottocampo di $E$$E$ infatti:

• è chiuso ridpetto alla differenza, infatti

$$a*b^{-1}-c*d^{-1}=a*b^{-1}*d*d^{-1}-c*d^{-1}*b*b^{-1}=(ad-bc)*(db)^{-1}$$

$$a*b^{-1}-c*d^{-1}=a*b^{-1}*d*d^{-1}-c*d^{-1}*b*b^{-1}=(ad-bc)*(db)^{-1}$$

e questo è ancora un elemento dell'insieme tra parentesi graffe.

• è un sottogruppo di $E$$E$ rispetto al prodotto, cioè soddisfa il criterio $a*b^{-1}$$a*b^{-1}$ in $G$$G$ con $a,b\in G$$a,b\in G$

Prendo $a*b^{-1}=a$$a*b^{-1}=a$$c*d^{-1}=b$$c*d^{-1}=b$. Allora

$$[(ab^{-1})*(cd^{-1})]^{-1}=ab^{-1}*dc^{-1}=ad*(cb)^{-1}$$

$$[(ab^{-1})*(cd^{-1})]^{-1}=ab^{-1}*dc^{-1}=ad*(cb)^{-1}$$

che appartiene ancora all'insieme.

Quindi l'insieme tra parentesi è un sottocampo di $E$$E$ che contiene $D$$D$ ed è contenuto nell'intersezione di tutti i campi che contengono $D$$D$, quindi coincide con $F$$F$.

 

Con questo teorema si può capire come creare un campo che contiene un anello e che sia minimale.

Consideriamo l'insieme

$$D\times D^{*}=\{(a,b)t.c.a,b\in D,b\neq 0\}$$

$$D\times D^{*}=\{(a,b)t.c.a,b\in D,b\neq 0\}$$

Su $D\times D^{*}$$D\times D^{*}$ definiamo una relazione $\sim$$\sim$ che associa a due coppie $(a,b)$$(a,b)$ e $(c,d)$$(c,d)$ se e solo se $ad=bc$$ad=bc$. Questa relazione è di equivalenza. Allora consideriamo l'insieme quoziente ${\frac {D\times D^{*}}{\sim }}$${\frac {D\times D^{*}}{\sim }}$. Denotiamo con $a/b$$a/b$ la classe di equivalenza contenente la coppia $(a,b)$$(a,b)$. Ogni coppia $(a,b)$$(a,b)$ si chiama frazione. $a/b$$a/b$ è per abuso di linguaggio la frazione individuata dalla coppia $(a,b)$$(a,b)$.

Sia $F$$F$ l'insieme quoziente ${\frac {D\times D^{*}}{\sim }}=\{a/b\}$${\frac {D\times D^{*}}{\sim }}=\{a/b\}$ (qui, come nel teorema precedente, $F=\{ab^{-1},\,\,a,b\in D\}$$F=\{ab^{-1},\,\,a,b\in D\}$). Notiamo che la classe di equivalenza $[a/b]$$[a/b]$ coincide con $[c/d]$$[c/d]$ se e solo se $ad=bc$$ad=bc$.

Sull'insieme quoziente definisco somma e prodotto.

• La somma $[a/b]+[c/d]=[(ad+bc)/(bd)]$$[a/b]+[c/d]=[(ad+bc)/(bd)]$. Si può verificare che questa operazione è ben definita, cioè che cambiando

rappresentanti per le classi di equivalenza si trova come somma la stessa frazione.

• Il prodotto $[a/b]*[c/d]=[{\frac {ac}{bd}}]$$[a/b]*[c/d]=[{\frac {ac}{bd}}]$. Il prodotto è ben definito e commutativo.

Rispetto alla somma, il quoziente è un gruppo abeliano con $0$$0$ uguale alla classe $[0/1]$$[0/1]$ che contiene tutte le coppie del tipo $(0,b)$$(0,b)$. Rispetto al prodotto, $F^{*}$$F^*$ è un gruppo con unità. L'unità è la classe $[1/1]$$[1/1]$. L'inverso di $[a/b]$$[a/b]$ è la classe di $b/a$$b/a$.

Valgono le proprietà distributive, cioè $F$$F$ è un campo.

Consideriamo l'applicazione $\eta \colon D\to F$$\eta \colon D\to F$ definita ponendo per ogni elemento $a\in D$$a\in D$, $\eta (a)=a/1$$\eta (a)=a/1$. Questa applicazione $\eta$$\eta$ conserva la somma e il prodotto, quindi $\eta (a+b)=(a+b)/1=a/1+b/1=\eta (a)+\eta (b)$$\eta (a+b)=(a+b)/1=a/1+b/1=\eta (a)+\eta (b)$.

Similmente è conservato il prodotto:

$$\eta (a*b)=(ab)/1=a/1*b/1=\eta (a)*\eta (b)$$

$$\eta (a*b)=(ab)/1=a/1*b/1=\eta (a)*\eta (b)$$

$$\eta (1_{D})=1_{D}/1_{D}=1_{F}$$

$$\eta (1_{D})=1_{D}/1_{D}=1_{F}$$

Il nucleo è ridotto a $0$$0$, perché preso un elemento $a$$a$ con immagine $a/1$$a/1$, se questo elemento ha come immagine $0/1$$0/1$ si ha $a*1=0*1$$a*1=0*1$ cioè $a=0$$a=0$.

Quindi il morfismo è iniettivo, $\eta (D)$$\eta (D)$ è isomorfo a $D$$D$ ed è un sottoanello di $F$$F$.

Osservazioni

Osservazione (375)

Identificando ogni $a\in D$$a\in D$ con $\eta (a)=a/1$$\eta (a)=a/1$, si identifica $D$$D$ con $\eta (D)$$\eta (D)$ e pertanto si può considerare $D$$D$ come sottoanello di $F$$F$.

 

Osservazione (376)

Notiamo che per ogni $a/b$$a/b$ possiamo scrivere $a/b=a/1*1/b=(a/1)*(b/1)^{-1}$$a/b=a/1*1/b=(a/1)*(b/1)^{-1}$ allora $a/b$$a/b$ si può considerare come prodotto in $F$$F$ di $a$$a$ per l'inverso di $b$$b$. Quindi per le considerazioni iniziali $D$$D$ genera $F$$F$.

Nessun sottocampo proprio di $F$$F$ può contenere $D$$D$.

 

Campo delle frazioni

Definizione (377 Campo delle frazioni)

Diremo che $F$$F$ è il campo delle frazioni o campo dei quozienti del dominio $D$$D$.

 

Ad esempio, se $D$$D$ è il dominio degli interi, si può costruire come campo delle frazioni il campo dei razionali.

Si può provare il seguente teorema:

Teorema (378)

Costruiamo $F$$F$ e $D$$D$ come sopra. Sia $\eta _{d}$$\eta _{d}$ un monomorfismo di $D$$D$ a un campo $F'$$F'$, cioè un'immersione di $D$$D$ in un campo $F'$$F'$. Allora $\eta _{d}$$\eta _{d}$ si può estendere in un unico modo a un monomorfismo $\eta _{f}$$\eta _{f}$ dal campo $F$$F$ a $F'$$F'$, cioè si può estendere $\eta _{d}$$\eta _{d}$ a un morfismo di campi.

In particolare, se $F'$$F'$ è generato da $\eta _{d}(D)$$\eta _{d}(D)$ allora è isomorfo a $F$$F$ perché deve contenere $F$$F$.

 

Dimostrazione

Si consideri la mappa $\eta _{f}$$\eta _{f}$ che preso un elemento di $F$$F$$a/b=ab^{-1}$$a/b=ab^{-1}$ associa $\eta _{d}(a)*\eta _{d}(b)^{-1}$$\eta _{d}(a)*\eta _{d}(b)^{-1}$ che va da $F$$F$ a $F'$$F'$ ed è un monomorfismo. $\eta _{f}$$\eta _{f}$ estende $\eta _{d}$$\eta _{d}$, cioè $\eta _{f}(a)=\eta _{d}(a)$$\eta _{f}(a)=\eta _{d}(a)$. E' iniettiva, è unica. Ogni ${\bar {\eta }}_{f}$${\bar {\eta }}_{f}$ che estende $\eta _{d}$$\eta _{d}$ è tale che l'immagine di un qualsiasi elemento di $F$$F$ è necessariamente la stessa di $\eta _{f}$$\eta _{f}$.