Ci si può chiedere se un dominio si può considerare come sottoanello di un opportuno campo.
Teorema (374)
Sia
un dominio. Ogni dominio
si può immergere in (è isomorfo a un sottoanello di) un campo
. Esiste
sottoanello di
e un monomorfismo
tale che
.
Dimostrazione
Cominciamo con il supporre che
sia già un sottoanello di un campo
. Consideriamo il sottocampo
di
generato da
,
cioè
è l'intersezione di tutti i sottocampi di
contenenti
.
Dimostro che
.
è l'inverso di
in
.
La parentesi a destra è un sottoinsieme di
, inoltre contiene
perché contiene tutti gli elementi
.
Inoltre, l'insieme tra parentesi graffe è un sottocampo di
infatti:
- è chiuso ridpetto alla differenza, infatti

e questo è ancora un elemento dell'insieme tra parentesi graffe.
- è un sottogruppo di
rispetto al prodotto, cioè soddisfa il criterio
in
con 
Prendo 
. Allora
![{\displaystyle [(ab^{-1})*(cd^{-1})]^{-1}=ab^{-1}*dc^{-1}=ad*(cb)^{-1}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6ee8dc4ef2ef350dc0a4012965fe5ae068bac639)
che appartiene ancora all'insieme.
Quindi l'insieme tra parentesi è un sottocampo di
che contiene
ed è contenuto nell'intersezione di tutti i campi che contengono
,
quindi coincide con
.
Con questo teorema si può capire come creare un campo che contiene un anello e che sia minimale.
Consideriamo l'insieme

Su
definiamo una relazione
che associa a due coppie
e
se e solo se
.
Questa relazione è di equivalenza. Allora consideriamo l'insieme quoziente
.
Denotiamo con
la classe di equivalenza contenente la
coppia
. Ogni coppia
si chiama frazione.
è per abuso di linguaggio la frazione individuata dalla coppia
.
Sia
l'insieme quoziente
(qui, come nel teorema precedente,
).
Notiamo che la classe di equivalenza
coincide con
se e solo se
.
Sull'insieme quoziente definisco somma e prodotto.
- La somma
. Si può verificare che questa operazione è ben definita, cioè che cambiando
rappresentanti per le classi di equivalenza si trova come somma la stessa frazione.
- Il prodotto
. Il prodotto è ben definito e commutativo.
Rispetto alla somma, il quoziente è un gruppo abeliano con
uguale alla classe
che contiene tutte le coppie del tipo
.
Rispetto al prodotto,
è un gruppo con unità. L'unità è la classe
. L'inverso di
è la classe di
.
Valgono le proprietà distributive, cioè
è un campo.
Consideriamo l'applicazione
definita ponendo per ogni elemento
,
.
Questa applicazione
conserva la somma e il prodotto, quindi
.
Similmente è conservato il prodotto:


Il nucleo è ridotto a

, perché preso un elemento

con immagine

, se questo elemento ha come immagine

si ha

cioè

.
Quindi il morfismo è iniettivo,
è isomorfo a
ed è un sottoanello di
.
Identificando ogni
con
, si identifica
con
e pertanto si può considerare
come sottoanello di
.
Notiamo che per ogni
possiamo scrivere
allora
si può considerare
come prodotto in
di
per l'inverso di
. Quindi per le considerazioni iniziali
genera
.
Nessun sottocampo proprio di
può contenere
.
Definizione (377 Campo delle frazioni)
Diremo che
è il campo delle frazioni o campo dei quozienti del dominio
.
Ad esempio, se
è il dominio degli interi, si può costruire come campo delle frazioni il campo dei razionali.
Si può provare il seguente teorema:
Teorema (378)
Costruiamo
e
come sopra. Sia
un monomorfismo di
a un campo
, cioè un'immersione di
in un
campo
. Allora
si può estendere in un unico modo a un monomorfismo
dal campo
a
,
cioè si può estendere
a un morfismo di campi.
In particolare, se
è generato da
allora è isomorfo a
perché deve contenere
.
Dimostrazione
Si consideri la mappa
che preso un elemento di 
associa
che va da
a
ed
è un monomorfismo.
estende
, cioè
. E' iniettiva, è unica. Ogni
che estende
è
tale che l'immagine di un qualsiasi elemento di
è necessariamente la stessa di
.