Dominio euclideo
Definizione[modifica | modifica wikitesto]
Un dominio non ridotto a zero si dice euclideo se esiste una funzione ( interi maggiori o uguali a zero) tale che
- con , .
- con , esistono tali che sia ove oppure se , .
viene chiamata norma euclidea.
Esempi di domini euclidei[modifica | modifica wikitesto]
Il dominio degli interi è euclideo e la norma è . Infatti la condizione imposta nell'algoritmo della divisione equivale alla condizione 2 di , inoltre il fatto che garantisce la condizione 1.
Se è un campo, il dominio dei polinomi a coefficienti nel campo è euclideo. Si assume come norma, per ogni polinomio non nullo, il grado. La condizione 2 è soddisfatta perché nella divisione si richiede che . Viene soddisfatta anche la condizione 1, perché il grado del prodotto è la somma dei gradi e quindi cioè .
Interi di Gauss[modifica | modifica wikitesto]
Si chiamano interi di Gauss i numeri complessi a coordinate intere nel piano di Argand-Gauss, cioè quelli della forma con .
In questo modo gli interi di Gauss formano un sottoanello dei complessi.
Si definisce per ogni intero di Gauss il quadrato del modulo, cioè .
Gli interi di Gauss formano un dominio euclideo.
Siccome con interi di Gauss, la condizione della definizione di dominio euclideo è soddisfatta.
L'inverso di un numero complesso è il coniugato diviso per la norma, cioè .
L'inverso di un intero di Gauss in generale non è un intero, ma un razionale.
Per quanto riguarda la condizione 2, presi due interi con ,
devo trovare tali che con .
Considero il numero complesso . .
Posso sicuramente trovare due interi tali che e .
Chiamiamo e . Scriviamo allora
Si possono determinare gli elementi unitari e gli elementi primi del dominio degli interi di Gauss (). In questo dominio
i primi coincidono con gli irriducibili.
Caratterizzazione dei domini euclidei[modifica | modifica wikitesto]
Si può provare che ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali.
Ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali (PID), cioè ogni suo ideale è principale.
Sia un ideale del dominio euclideo . Sia un elemento di che abbia norma minima fra gli elementi non nulli dell'ideale (per il principio del buon ordinamento l'insieme delle norme ha un minimo). Sia . Siccome è euclideo, esistono tali che tali che o . Ora, . , e è un ideale chiuso rispetto al prodotto e alla differenza, quindi . La scelta minimale di forza (infatti, , ha norma minima tra gli elementi di I e ). Si ha che . Allora e , ma , questo implica che . Segue , cioè ogni ideale del dominio è principale.
In base a questo teorema l'anello dei polinomi su un campo è un dominio a ideali principali (è euclideo).
Per la proprietà del trasporto, se è un dominio, è un dominio. Però non è vero che se è a ideali principali, allora è a ideali principali.
Questo è un esempio di dominio a ideali non principali con coefficienti su un dominio a ideali principali.
Considero , insieme dei polinomi a coefficienti interi. Consideriamo l'insieme di tutti i polinomi in con termine noto pari. Esso è un ideale , infatti la differenza di due polinomi con termine noto pari è ancora un polinomio con termine noto pari. Lo stesso vale per il prodotto. Quindi è un ideale, ma non è principale. Se fosse principale, sarebbe generato da un elemento con termine noto pari. Siccome in questo ideale c'è anche , esso può essere l'unico generatore. Ma questo significa che qualsiasi polinomio si ottiene moltiplicando per un polinomio a coefficienti interi, ma in questo modo si ottengono polinomi con tutti i coefficienti pari. I polinomi con termine noto pari e coefficienti dispari non rientrano. Isolando in un polinomio il termine noto, la parte restante è un polinomio divisibile per . è un ideale generabile da due elementi e ma non è principale.
Condizione di primarità[modifica | modifica wikitesto]
Se è irriducibile, le uniche possibili fattorizzazioni per sono con unitario.
Abbiamo provato che in ogni dominio, primo implica irriducibile. In ogni dominio a ideali principali vale anche il viceversa.
Se è un PID, allora ogni elemento irriducibile in è primo (condizione di primarità).
Questo significa che in un PID le nozioni di primo e irriducibile sono equivalenti.
Sia un elemento di irriducibile. Supponiamo che , , ma . Proviamo che allora .
Siccome è irriducibile, allora non esiste alcun ideale di tale che (dipende dall'ipotesi che è un dominio a ideali principali, in cui se è irriducibile, è massimale).
Siccome , allora e è l'intero perché il generatore dell'ideale è unitario (). Segue che per opportuni . Moltiplicando per entrambi i membri dell'uguaglianza, segue cioè .
(l'ultimo passaggio vale perché ).
In un dominio a ideali principali primo e irriducibile hanno lo stesso significato.
osservazioni[modifica | modifica wikitesto]
Ogni intero si può decomporre in modo unico in fattori primi.
Equivalentemente, ogni polinomio si può decomporre in modo unico come prodotto di fattori irriducibili.
Preso un dominio a fattorizzazione unica come , la proprietà di fattorizzazione si eredita al corrispondente anello polinomiale. Essendo a fattorizzazione unica, anche è a fattorizzazione unica.
In un generico anello commutativo se è un ideale di , l'anello quoziente è un dominio, se e solo se è un ideale primo. è un campo se e solo se è massimale. In particolare, supponiamo che non ridotto al solo zero sia un dominio a ideali principali. Allora un ideale non nullo generato da un elemento è primo se e solo se è primo. è massimale se e solo se è irriducibile. In forza della proposizione precedente, poiché in un dominio a ideali principali primo e irriducibile sono condizioni equivalenti, possiamo concludere che nell'insieme degli ideali non nulli, gli ideali primi coincidono con gli ideali massimali.