Dominio euclideo

Definizione

Definizione (323 Dominio euclideo e norma euclidea)

Un dominio $D$$D$ non ridotto a zero si dice euclideo se esiste una funzione $\nu \colon D^{*}\to \mathbb {Z} _{0}$$\nu \colon D^{*}\to \mathbb {Z} _{0}$ ($\mathbb {Z} _{0}=$$\mathbb {Z} _{0}=$ interi maggiori o uguali a zero) tale che

1. $\forall a,b\in D$$\forall a,b\in D$ con $a,b\neq 0$$a,b\neq 0$, $\nu (a)\leq \nu (ab)$$\nu (a)\leq \nu (ab)$.
2. $\forall a,b\in D$$\forall a,b\in D$ con $b\neq 0$$b\neq 0$, esistono $q,r\in D$$q,r\in D$ tali che sia $a=bq+r$$a=bq+r$ ove $r=0_{D}$$r=0_{D}$ oppure se $r\neq 0$$r\neq 0$, $\nu (r)<\nu (b)$$\nu (r)<\nu (b)$.

$\nu$$\nu$ viene chiamata norma euclidea.

 

Esempi di domini euclidei

Esempio (324)

Il dominio degli interi è euclideo e la norma è $|\dots |$$|\dots |$. Infatti la condizione $0<r<|b|$$0<r<|b|$ imposta nell'algoritmo della divisione equivale alla condizione 2 di $\nu$$\nu$, inoltre il fatto che $|a|\leq |ab|$$|a|\leq |ab|$ garantisce la condizione 1.

 

Esempio (325)

Se $F$$F$ è un campo, il dominio dei polinomi a coefficienti nel campo è euclideo. Si assume come norma, per ogni polinomio non nullo, il grado. La condizione 2 è soddisfatta perché nella divisione si richiede che $gr(r(x))<gr(b(x))$$gr(r(x))<gr(b(x))$. Viene soddisfatta anche la condizione 1, perché il grado del prodotto è la somma dei gradi e quindi $gr(a)<gr(a)+gr(b)$$gr(a)<gr(a)+gr(b)$ cioè $\nu (a)<\nu (ab)$$\nu (a)<\nu (ab)$.

 

Interi di Gauss

Definizione (326 Interi di Gauss)

Si chiamano interi di Gauss i numeri complessi a coordinate intere nel piano di Argand-Gauss, cioè quelli della forma $x+iy$$x+iy$ con $x,y\in \mathbb {Z}$$x,y\in \mathbb {Z}$.

 

In questo modo gli interi di Gauss formano un sottoanello dei complessi. Si definisce per ogni intero di Gauss il quadrato del modulo, cioè $\nu (x+iy)=x^{2}+y^{2}$$\nu (x+iy)=x^{2}+y^{2}$.

Proposizione (327)

Gli interi di Gauss formano un dominio euclideo.

 

Dimostrazione

Siccome $\nu (a,b)=\nu (a)*\nu (b)$$\nu (a,b)=\nu (a)*\nu (b)$ con $a,b$$a,b$ interi di Gauss, la condizione $1$$1$ della definizione di dominio euclideo è soddisfatta.

L'inverso di un numero complesso è il coniugato diviso per la norma, cioè $(x-iy)/(x^{2}+y^{2})$$(x-iy)/(x^{2}+y^{2})$. L'inverso di un intero di Gauss in generale non è un intero, ma un razionale.

Per quanto riguarda la condizione 2, presi due interi $a,b\in G$$a,b\in G$ con $a\neq b$$a\neq b$, devo trovare $p,q\in G$$p,q\in G$ tali che $a=qb+r$$a=qb+r$ con $\nu (r)<\nu (b)$$\nu (r)<\nu (b)$. Considero il numero complesso $ab^{-1}=\psi +iz$$ab^{-1}=\psi +iz$. $\psi ,z\in \mathbb {Q}$$\psi ,z\in \mathbb {Q}$. Posso sicuramente trovare due interi $m,n\in \mathbb {Z}$$m,n\in \mathbb {Z}$ tali che $|\psi -m|\leq 1/2$$|\psi -m|\leq 1/2$ e $|z-n|\leq 1/2$$|z-n|\leq 1/2$. Chiamiamo $\psi -m=\varepsilon$$\psi -m=\varepsilon$ e $z-n=\eta$$z-n=\eta$. Scriviamo allora

$$a=b*a*b^{-1}=b*(\psi +i*z)=b*[(m+\varepsilon )+i(n+\eta )]=b*(m+in)+b(\varepsilon +i\eta )=$$

$$a=b*a*b^{-1}=b*(\psi +i*z)=b*[(m+\varepsilon )+i(n+\eta )]=b*(m+in)+b(\varepsilon +i\eta )=$$

$m+in$$m+in$ è un intero di Gauss e lo chiamo $q$$q$, $b$$b$ è un intero di Gauss. Invece $r=b*(\varepsilon +i\eta )$$r=b*(\varepsilon +i\eta )$ è tale che $r=a-b*q$$r=a-b*q$, quindi è anch'esso un intero di Gauss. Calcolo la norma di $r$$r$.

$$\nu (r)=|b|^{2}*(\varepsilon ^{2}+\eta ^{2})$$

$$\nu (r)=|b|^{2}*(\varepsilon ^{2}+\eta ^{2})$$

$$\varepsilon =\psi -m\leq 1/2$$

$$\varepsilon =\psi -m\leq 1/2$$

$$\varepsilon ^{2}\leq 1/4$$

$$\varepsilon ^{2}\leq 1/4$$

$$\eta =z-n\leq 1/2$$

$$\eta =z-n\leq 1/2$$

$$\eta ^{2}\leq 1/4$$

$$\eta ^{2}\leq 1/4$$

$$\nu (R)\leq |b|^{2}*1/2\leq 1/2*\nu (b)$$

$$\nu (R)\leq |b|^{2}*1/2\leq 1/2*\nu (b)$$

allora $\nu (R)\leq \nu (b)$$\nu (R)\leq \nu (b)$ se $R\neq 0$$R\neq 0$. Ho trovato due interi di Gauss $q,r$$q,r$ che soddisfano la condizione $2$$2$.

 

Si possono determinare gli elementi unitari e gli elementi primi del dominio degli interi di Gauss ($\pm 1,\pm i$$\pm 1,\pm i$). In questo dominio i primi coincidono con gli irriducibili.

Caratterizzazione dei domini euclidei

Si può provare che ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali.

Teorema (328)

Ogni dominio euclideo $d$$d$ è un dominio a ideali principali (PID), cioè ogni suo ideale è principale.

 

Dimostrazione

Sia $I\neq 0$$I\neq 0$ un ideale del dominio euclideo $D$$D$. Sia $b$$b$ un elemento di $I$$I$ che abbia norma minima fra gli elementi non nulli dell'ideale $I$$I$ (per il principio del buon ordinamento l'insieme delle norme ha un minimo). Sia $a\in I$$a\in I$. Siccome $D$$D$ è euclideo, esistono $q,r\in D$$q,r\in D$ tali che $a=bq+r$$a=bq+r$ tali che $r=0$$r=0$ o $\nu (r)<\nu (b)$$\nu (r)<\nu (b)$. Ora, $R=a-bq$$R=a-bq$. $a,b,q\in I$$a,b,q\in I$, e $I$$I$ è un ideale chiuso rispetto al prodotto e alla differenza, quindi $a-bq=R\in I$$a-bq=R\in I$. La scelta minimale di $b$$b$ forza $r=0$$r=0$ (infatti, $r\in I$$r\in I$, $b$$b$ ha norma minima tra gli elementi di I e $0<\nu (r)<\nu (b)$$0<\nu (r)<\nu (b)$). Si ha che $a=qb$$a=qb$. Allora $a\in I$$a\in I$ e $I\in (b)$$I\in (b)$, ma $b\in I$$b\in I$, questo implica che $(b)\in I$$(b)\in I$. Segue $I=(b)$$I=(b)$, cioè ogni ideale del dominio è principale.

 

In base a questo teorema l'anello dei polinomi $F[x]$$F[x]$ su un campo $F$$F$ è un dominio a ideali principali (è euclideo).

Per la proprietà del trasporto, se $F$$F$ è un dominio, $F[x]$$F[x]$ è un dominio. Però non è vero che se $F$$F$ è a ideali principali, allora $F[x]$$F[x]$ è a ideali principali.

Questo è un esempio di dominio a ideali non principali con coefficienti su un dominio a ideali principali.

Esempio (329)

Considero $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$, insieme dei polinomi a coefficienti interi. Consideriamo l'insieme di tutti i polinomi in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ con termine noto pari. Esso è un ideale $J$$J$, infatti la differenza di due polinomi con termine noto pari è ancora un polinomio con termine noto pari. Lo stesso vale per il prodotto. Quindi è un ideale, ma non è principale. Se fosse principale, sarebbe generato da un elemento con termine noto pari. Siccome in questo ideale c'è anche $f(z)=2$$f(z)=2$, esso può essere l'unico generatore. Ma questo significa che qualsiasi polinomio si ottiene moltiplicando per $2$$2$ un polinomio a coefficienti interi, ma in questo modo si ottengono polinomi con tutti i coefficienti pari. I polinomi con termine noto pari e coefficienti dispari non rientrano. Isolando in un polinomio il termine noto, la parte restante è un polinomio divisibile per $x$$x$. $J$$J$ è un ideale generabile da due elementi $x$$x$ e $2$$2$ ma non è principale.

 

Condizione di primarità

Se $p$$p$ è irriducibile, le uniche possibili fattorizzazioni per $p$$p$ sono $p=u*u^{-1}p$$p=u*u^{-1}p$ con $u$$u$ unitario.

Abbiamo provato che in ogni dominio, $p$$p$ primo implica $p$$p$ irriducibile. In ogni dominio a ideali principali vale anche il viceversa.

Proposizione (330)

Se $D$$D$ è un PID, allora ogni elemento irriducibile in $D$$D$ è primo (condizione di primarità).

 

Osservazione (331)

Questo significa che in un PID le nozioni di primo e irriducibile sono equivalenti.

 

Dimostrazione

Sia $p$$p$ un elemento di $D$$D$ irriducibile. Supponiamo che $p\mid ab$$p\mid ab$, $a,b\in D$$a,b\in D$, ma $p\nmid a$$p\nmid a$. Proviamo che allora $p\mid b$$p\mid b$.

Siccome $p$$p$ è irriducibile, allora non esiste alcun ideale $J$$J$ di $D$$D$ tale che $(p)\subset J\subset D$$(p)\subset J\subset D$ (dipende dall'ipotesi che $D$$D$ è un dominio a ideali principali, in cui se $p$$p$ è irriducibile, $(p)$$(p)$ è massimale).

Siccome $p\nmid a$$p\nmid a$, allora $a\not \in (p)$$a\not \in (p)$ e $(p)+(a)$$(p)+(a)$ è l'intero $D$$D$ perché il generatore dell'ideale è unitario ($M.C.D.(a,p)=1_{D}$$M.C.D.(a,p)=1_{D}$). Segue che $1_{D}=xp+ya$$1_{D}=xp+ya$ per opportuni $x,y\in D$$x,y\in D$. Moltiplicando per $b$$b$ entrambi i membri dell'uguaglianza, segue $b=1_{D}*b=xpb+yab=xpb+ypc=p(xb+yc)$$b=1_{D}*b=xpb+yab=xpb+ypc=p(xb+yc)$ cioè $p\mid b$$p\mid b$. (l'ultimo passaggio vale perché $p\mid ab$$p\mid ab$).

 

In un dominio a ideali principali primo e irriducibile hanno lo stesso significato.

osservazioni

Osservazione (332 Proprietà fondamentale dell'aritmetica)

Ogni intero si può decomporre in modo unico in fattori primi.

Equivalentemente, ogni polinomio si può decomporre in modo unico come prodotto di fattori irriducibili.

Preso un dominio a fattorizzazione unica come $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$, la proprietà di fattorizzazione si eredita al corrispondente anello polinomiale. Essendo $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ a fattorizzazione unica, anche $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ è a fattorizzazione unica.

 

Osservazione (333)

In un generico anello commutativo $A$$A$ se $I$$I$ è un ideale di $A$$A$, l'anello quoziente $A/I$$A/I$ è un dominio, se e solo se $I$$I$ è un ideale primo. $A/I$$A/I$ è un campo se e solo se $I$$I$ è massimale. In particolare, supponiamo che $D$$D$ non ridotto al solo zero sia un dominio a ideali principali. Allora un ideale non nullo generato da un elemento $p$$p$ è primo se e solo se $p$$p$ è primo. $(p)$$(p)$ è massimale se e solo se $p$$p$ è irriducibile. In forza della proposizione precedente, poiché in un dominio a ideali principali primo e irriducibile sono condizioni equivalenti, possiamo concludere che nell'insieme degli ideali non nulli, gli ideali primi coincidono con gli ideali massimali.