La classe dei PID è contenuta nella classe degli UFD (domini a fattorizzazione unica).
La proprietà di essere a fattorizzazione unica si trasporta dal dominio alla sua estensione polinomiale.
Valgono le seguenti osservazioni:
- Se
è un dominio e scrivo
se e solo se esiste
tale che
, cioè
differisce da
per un elemento
unitario, allora
è una relazione di equivalenza.
Dim. E' riflessiva infatti
con
, è simmetrica infatti
implica
con
e transitiva, infatti se
e
allora
.
- Se
, essi sono associati, cioè
, perché
differisce per un elemento unitario da
, infatti
è ancora unitario.
- Se
è unitario e
, allora
è unitario. Cioè gli elementi unitari formano un'unica classe di equivalenza
rispetto alla relazione
.
- Se
e
è irriducibile in
, allora anche
è irriducibile in
.
Moltiplicando un elemento irriducibile per un unitario ottengo ancora un irriducibile.
- Se
e
allora
(gli unici divisori di elementi unitari sono unitari).
Definizione (338 Dominio a fattorizzazione unica)
Sia
non ridotto a zero un dominio.
si dice dominio a fattorizzazione unica
se preso un qualsiasi elemento
dove
e
non unitario, si può scrivere
come prodotto
di fattori irriducibili, cioè
dove i
sono irriducibili in
. Se
e
sono
irriducibili in
, allora
cioè le due fattorizzazioni hanno lo stesso numero di elementi (lunghezza di
)
e a meno di un eventuale riordinamento dei
,
per ogni
.
(negli interi differisce per il segno, nei polinomi per una costante)
Proposizione (339)
Ogni dominio a ideali principali è anche un
.
Dimostrazione
Proviamo che se
è un
, vale la condizione
:
non si trovano in
sequenze infinite di elementi del tipo
ove
per ogni 
è un fattore proprio del precedente.
(ovvero, in ogni sequenza tale che
esiste
tale che
(la sequenza diventa stazionaria).
è equivalente alla
:
non contiene alcuna catena propriamente ascendente infinita di ideali principali
del tipo
(infatti in un PID,
).
Supponendo
a ideali principali dimostriamo la condizione
: Chiamiamo
.
Osserviamo che
è un ideale (e siccome siamo in un
è un ideale principale). L'unione insiemistica di ideali con una
catena ascendente di inclusioni è undeale, perché è uguale al più grosso di questi ideali uniti.
Sia
, allora esiste
tale che
e segue quindi
. Inoltre, per ogni
, segue che
, ma siccome
è l'unione, non esistono ideali più grossi quindi
(la catena è stazionaria).
Esistenza di una fattorizzazione: Sia
un elemento non unitario di
. Allora mostriamo che
si può esprimere come
prodotto di irriducibili. Se
è irriducibile, non ho niente da provare.
In caso contrario, se
è riducibile, allora
ha dei fattori propri e posso scrivere
con
fattore proprio.
Allora si possono verificare due possibilità:
è irriducibile.
è riducibile, e quindi posso scrivere
con
fattore proprio.
Itero il ragionamento su
. Si forma una sequenza
che in forza della proprietà
deve
terminare dopo un numero finito di passi con un fattore irriducibile di
. Diciamo
irriducibile in
e lo chiamiamo
.
Posto
, si ha che
, perché ho scoperto che
ha un fattore irriducibile.
Allora se consideriamo
, se
, allora
è irriducibile (alterando un irriducibile per un fattore unitario è ancora irriducibile).
Altrimenti, se
non è unitario, posso ripetere il ragionamento fatto su
. E posso scrivere
con
irriducibile.
Iterando la procedura, si ottiene una sequenza fatta da
e così via, ove
divide
propriamente.
Inoltre,
con
irriducibile. Per la condizione
tale sequenza deve terminare, con un elemento irriducibile.
Allora pongo l'ultimo elemento
, e segue che
.
Questo prova che ogni elemento del dominio ha una fattorizzazione in termini irriducibili.
Unicità: useremo implicitamente la nozione di fattori primi, se
è primo e divide il prodotto di un
certo numero di fattori, divide almeno uno di questi (si prova per induzione o usando l'associatività).
Supponiamo di avere due fattorizzazioni: supponiamo di avere
dove
e
sono irriducibili.
Proviamo per induzione su
che in realtà le due fattorizzazioni coincidono. Se
, allora
.
è irriducibile,
allora non può essere fattorizzato in più di un fattore riducibile. Allora se
, anche
e
.
Supponiamo
e presa la prima fattorizzazione,
è irriducibile e
divide il prodotto
. Allora deve dividere
almeno uno dei fattori, cioè
per qualche
(
è anche primo). Ma anche
è irriducibile e ammette solo fattori banali.
Allora
. Eventualmente riordinando possiamo supporre
, cioè
e
con
.
Allora

valgono le leggi di cancellazione, quindi semplifico per

e ottengo:

Ci sono due fattorizzazioni irriducibili di un elemento

e la lunghezza della prima fattorizzazione è

.
Quindi per induzione su

questa fattorizzazione è unica. Allora

e

, inoltre eventualmente
riordinando

per ogni

.
Esempio (340)

Si considera una norma euclidea. Se prendo

, la norma

.
Calcolo gli elementi unitari del dominio. Siccome la norma è moltiplicativa, presi due elementi
in
si ha

allora considero

unitario in

tale che

.
Le norme sono interi non negativi, allora se

, con

unitario e

il suo inverso, si ha

e necessariamente

.
Questo implica che

. Questi sono gli unici elementi unitari in

.
In questo anello prendo il numero
. Posso fattorizzarlo come
oppure come
.
Ho due fattorizzazioni in elementi di
si verifica che sia
che
sono irriducibili.
Gli elementi irriducibili sono a due a due non associati. Quindi si hanno due fattorizzazioni distinte dell'elemento
in elementi irriducibili.
Questi elementi sono irriducibili ma non primi. In questo dominio ci sono irriducibili che non sono primi.
Questo allora non è un
e non è un dominio a ideali principali.