Definizione (313 Ideali coprimi)
In generale, sia
un anello commutativo. Siano
ideali di
.
si dicono coprimi se
.
Definizione (314 Somma e prodotto nel prodotto cartesiano di anelli)
Siano
anelli. Allora si dà al prodotto cartesiano
una naturale
struttura di anello. Si definiscono per ogni
e
la somma
(calcolata rispettivamente negli anelli
) e il prodoto
.
Proviamo la seguente condizione
:
Proposizione (315 Condizione $\ast$)
per ogni
, se considero l'ideale
e l'intersezione
con
, è anch'esso un ideale di
e
la somma tra
e
è
.
In altre parole, se gli ideali sono a due a due coprimi, allora uno è coprimo con l'intersezione degli altri.
Dimostrazione
Per ipotesi, per ogni
,
. Dunque esistono un elemento
e
tali che
. Questo vale per ogni
. Segue che posso scrivere
come il prodotto per ogni 
al variare di
(prodotto di unità), dove per ogni ideale
con
si ha che esiste
tale che
.
Usando le proprietà distributive posso esplicitare il prodotto:

.
Ma siccome il prodotto è contenuto nell'intersezione si ha la seguente catena di inclusioni:

.
Allora l'unità è contenuta nell'ideale intersezione, quindi l'ideale coincide con

. Ho provato che

.
Deduco che esistono un elemento
ed
tali che
.
Se
, applichiamo al primo e al secondo membro dell'uguaglianza la proiezione canonica
. Allora

(questo perché

e quindi anche in

con

, la sua imagine è lo zero del quoziente).
In particolare, se
,
Se
,
.
(
perché
e la sua immagine mediante
è lo zero del quoziente)
Si ha quindi
uguale all'unità
.
per ogni
e
,
cioè il
di Kroneker.
Teorema (317 Teorema cinese dei resti)
Sia
un anello commutativo e siano 
ideali di
a due a due coprimi. Sia per 
la
proiezione canonica da
all'anello quoziente rispetto all'anello
.
Allora l'applicazione
(anello prodotto degli anelli quoziente) definita ponendo per ogni
,
uguale alla
-upla delle immagini di
mediante
, cioè
è un epimorfismo di anelli con nucleo
, in particolare
è isomorfo a
Dimostrazione
Si verifica immediatamente che
è un morfismo di anelli e il nucleo è l'intersezione dei
, perché un elemento sta nel
nucleo se per ogni
,
nell'anello quoziente
. Ma lo zero dell'anello quoziente è
, quindi se
è uguale allo zero del quoziente, allora
. Quindi è ovvio che
.
L'ipotesi che i due ideali sono a due a due coprimi serve per dimostrare che
è suriettiva.
Proviamo la suriettività di
. Prendiamo una qualsiasi
-upla dell'anello prodotto, che chiamo
nell'anello di arrivo (prodotto dei quozienti) e ne prendo la controimmagine. Per ogni
prendo
e ne considero una preimmagine
nell'epimorfismo canonico, cioè
. Supponiamo che
dove
è in
.
Alora devo provare che
, cioè che ho effettivamente costruito una preimmagine
di
.



Ho una sommatoria di prodotti di

-uple

Ma

è

. Ho una somma di

-uple che risulta

.
Quindi

è suriettiva.
Definizione (318)
Sia
un anello commutativo. Sia
un ideale di
. Due elementi
si dicono congrui modulo
l'ideale
(
) se
, ovvero se
.
Se in particolare
è principale e generato da un elemento
, scriveremo
.
Osserviamo che la suriettività di
si può interpretare nel modo seguente: assegnati comunque degli elementi
nell'anello
, esiste sempre
tale che sia
per
. Cioè presi
si ha che
e
stanno nello stesso laterale di
per ogni
.
(il punto
del teorema cinese ha come coordinate gli
, gli
sono le controimmagini degli
e
è la controimmagine di
di cui il teorema garantisce l'esistenza).
Esiste una versione del teorema cinese per
. Nell'anello degli interi ogni ideale è principale.
Se due interi sono primi, allora i rispettivi ideali principali sono coprimi.
Infatti
è un ideale principale e se
è il suo generatore, allora
.
Quindi
è un ideale generato dall'unità ed è
, cioè
e
sono coprimi.
Corollario (321)
Siano
interi a due a due coprimi (in questo modo i rispettivi ideali sono coprimi). Allora assegnati
comunque
il sistema di congruenze lineari

ammette soluzioni intere.
Questo significa che esiste un intero
che è una soluzione simultanea delle congruenze.
Se
è una soluzione, ogni altra soluzione è congrua a
modulo
, con
.
Dimostrazione
Basta osservare che gli ideali generati da
sono a due a due coprimi.
Il nucleo di
è
. L'intersezione è l'ideale generato dall'
(dominio a ideali principali),
ma siccome
sono a due a due coprimi, si ha
.
Tutte le soluzioni differiscono da questa per un elemento nel nucleo di
.
La dimostrazione del teorema cinese dei resti contiene un algoritmo esplicito per la risoluzione di sistemi di questo tipo.
Corollario (322)
Su un campo
considero l'anello dei polinomi in una indeterminata
.
Siano
polinomi appartenenti a
. Supponiamo che siano coprimi.
Allora assegnati comunque i polinomi
a coefficienti in
, il sistema di congruenze lineari polinomiali

ammette soluzioni in
.
Se
è una soluzione,
.
In particolare esiste ed è unico un polinomio di grado inferiore a
soluzione del sistema.
Su
e
esiste un algoritmo della divisione.