Teorema cinese dei resti

Definizioni utili

Definizione (313 Ideali coprimi)

In generale, sia $R$$R$ un anello commutativo. Siano $I,J$$I,J$ ideali di $R$$R$. $I,J$$I,J$ si dicono coprimi se $I+J=R$$I+J=R$.

 

Definizione (314 Somma e prodotto nel prodotto cartesiano di anelli)

Siano $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$$R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ anelli. Allora si dà al prodotto cartesiano $R_{1}\times R_{2}\times R_{n}$$R_{1}\times R_{2}\times R_{n}$ una naturale struttura di anello. Si definiscono per ogni $X=(x_{1},x_{2},x_{n})$$X=(x_{1},x_{2},x_{n})$ e $Y=(y_{1},y_{2},y_{n})$$Y=(y_{1},y_{2},y_{n})$ la somma $X+Y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{n}+y_{n})$$X+Y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{n}+y_{n})$ (calcolata rispettivamente negli anelli $R_{1},R_{2}R_{n}$$R_{1},R_{2}R_{n}$) e il prodoto $XY=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},x_{n}y_{n})$$XY=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},x_{n}y_{n})$.

 

Teorema cinese dei resti

Proviamo la seguente condizione $\ast$$\ast$:

Proposizione (315 Condizione $\ast$)

per ogni $i=1,n$$i=1,n$, se considero l'ideale $J_{i}$$J_{i}$ e l'intersezione $\bigcap \{J_{k}\}$$\bigcap \{J_{k}\}$ con $k\neq i$$k \neq i$, è anch'esso un ideale di $R$$R$ e la somma tra $J_{i}$$J_{i}$ e $\bigcap \{J_{k}\}$$\bigcap \{J_{k}\}$ è $R$$R$. In altre parole, se gli ideali sono a due a due coprimi, allora uno è coprimo con l'intersezione degli altri.

 

Dimostrazione

Per ipotesi, per ogni $k\neq i$$k \neq i$, $J_{i}+J_{k}=R$$J_{i}+J_{k}=R$. Dunque esistono un elemento $a_{i}\in J_{i}$$a_{i}\in J_{i}$ e $a_{k}\in J_{k}$$a_{k}\in J_{k}$ tali che $a_{i}+a_{k}=1_{R}$$a_{i}+a_{k}=1_{R}$. Questo vale per ogni $k\neq j$$k\neq j$. Segue che posso scrivere $1_{R}$$1_{R}$ come il prodotto per ogni $k\neq i$$k \neq i$$\prod \{a_{i}+a_{k}\}$$\prod \{a_{i}+a_{k}\}$ al variare di $i,k$$i,k$ (prodotto di unità), dove per ogni ideale $J_{k}$$J_{k}$ con $k\neq i$$k \neq i$ si ha che esiste $a_{k}$$a_k$ tale che $a_{i}+a_{k}=1_{R}$$a_{i}+a_{k}=1_{R}$.

Usando le proprietà distributive posso esplicitare il prodotto:

$$1_{R}=\prod (a_{i}+a_{k})=J_{i}+\prod _{k\neq i}J_{k}$$

$$1_{R}=\prod (a_{i}+a_{k})=J_{i}+\prod _{k\neq i}J_{k}$$

. Ma siccome il prodotto è contenuto nell'intersezione si ha la seguente catena di inclusioni:

$$1_{R}=\prod (a_{i}+a_{k})\subset J_{i}+\prod J_{k}\subset J_{i}+\bigcap _{k\neq i}J_{k}$$

$$1_{R}=\prod (a_{i}+a_{k})\subset J_{i}+\prod J_{k}\subset J_{i}+\bigcap _{k\neq i}J_{k}$$

. Allora l'unità è contenuta nell'ideale intersezione, quindi l'ideale coincide con $R$$R$. Ho provato che $J_{i}+\bigcap _{i\neq k}J_{k}=R$$J_{i}+\bigcap _{i\neq k}J_{k}=R$.

 

Osservazione (316)

Deduco che esistono un elemento $d_{i}\in J_{i}$$d_{i}\in J_{i}$ ed $e_{i}\in \bigcap _{k\neq i}J_{k}$$e_{i}\in \bigcap _{k\neq i}J_{k}$ tali che $d_{i}+e_{i}=1_{R}$$d_{i}+e_{i}=1_{R}$.

Se $j\neq i$$j\neq i$, applichiamo al primo e al secondo membro dell'uguaglianza la proiezione canonica $\pi _{j}$$\pi _{j}$. Allora

$$1_{R/J_{j}}=\pi _{j}(d_{i})+\pi _{j}(e_{i})=\pi _{j}(d_{i})+0_{R/J_{i}}$$

$$1_{R/J_{j}}=\pi _{j}(d_{i})+\pi _{j}(e_{i})=\pi _{j}(d_{i})+0_{R/J_{i}}$$

(questo perché $e_{j}\in \bigcap I_{k}$$e_{j}\in \bigcap I_{k}$ e quindi anche in $e_{J}$$e_{J}$ con $j\neq i$$j\neq i$, la sua imagine è lo zero del quoziente).

In particolare, se $j\neq i$$j\neq i$, $\pi _{j}(e_{i})=0_{R/J_{j}}$$\pi _{j}(e_{i})=0_{R/J_{j}}$ Se $j=i$$j=i$, $1_{R/J_{i}}=\pi _{i}(d_{i})+\pi _{i}(e_{i})=0+\pi _{i}(e_{i})$$1_{R/J_{i}}=\pi _{i}(d_{i})+\pi _{i}(e_{i})=0+\pi _{i}(e_{i})$. ($\pi _{i}(d_{i})=0$$\pi _{i}(d_{i})=0$ perché $d_{i}\in J_{i}$$d_{i}\in J_{i}$ e la sua immagine mediante $\pi$$\pi$ è lo zero del quoziente) Si ha quindi $\pi _{j}(e_{i})$$\pi _{j}(e_{i})$ uguale all'unità $1_{R/J_{i}}$$1_{R/J_{i}}$.

per ogni $i$$i$ e $j$$j$, $\pi _{j}(e_{i})=\delta _{ij}$$\pi _{j}(e_{i})=\delta _{ij}$ cioè il $\delta$$\delta$ di Kroneker.

 

Teorema (317 Teorema cinese dei resti)

Sia $R$$R$ un anello commutativo e siano $J_{1},J_{2},J_{n}$$J_{1},J_{2},J_{n}$$n$$n$ ideali di $R$$R$ a due a due coprimi. Sia per $i=(1,n)$$i=(1,n)$$\pi _{i}$$\pi _{i}$ la proiezione canonica da $R$$R$ all'anello quoziente rispetto all'anello $J_{i}$$J_{i}$. Allora l'applicazione $\phi \colon R\to R/J_{1}*\dots *R/J_{n}$$\phi \colon R\to R/J_{1}*\dots *R/J_{n}$ (anello prodotto degli anelli quoziente) definita ponendo per ogni $x\in R$$x\in R$, $\phi (x)$$\phi(x)$ uguale alla $n$$n$-upla delle immagini di $x$$x$ mediante $\pi _{i}$$\pi _{i}$, cioè $(\pi _{1}(x),\pi _{2}(x),\pi _{n}(x))$$(\pi _{1}(x),\pi _{2}(x),\pi _{n}(x))$ è un epimorfismo di anelli con nucleo $\bigcap \{J_{i}\}$$\bigcap \{J_{i}\}$, in particolare $R/\ker f={\frac {R}{\bigcap \{J_{i}\}}}$$R/\ker f={\frac {R}{\bigcap \{J_{i}\}}}$ è isomorfo a $R/J_{1}\times \dots \times R/J_{n}$$R/J_{1}\times \dots \times R/J_{n}$

 

Dimostrazione

Si verifica immediatamente che $\phi$$\phi$ è un morfismo di anelli e il nucleo è l'intersezione dei $J_{i}$$J_{i}$, perché un elemento sta nel nucleo se per ogni $i$$i$, $\pi _{i}(x)=0$$\pi _{i}(x)=0$ nell'anello quoziente $R/J_{i}$$R/J_{i}$. Ma lo zero dell'anello quoziente è $J_{i}$$J_{i}$, quindi se $\pi _{i}(x)$$\pi _{i}(x)$ è uguale allo zero del quoziente, allora $\pi _{i}(x)=J_{i}$$\pi _{i}(x)=J_{i}$. Quindi è ovvio che $\ker \phi =\bigcap \{J_{i}\}$$\ker \phi =\bigcap \{J_{i}\}$.

L'ipotesi che i due ideali sono a due a due coprimi serve per dimostrare che $\phi$$\phi$ è suriettiva. Proviamo la suriettività di $\phi$$\phi$. Prendiamo una qualsiasi $n$$n$-upla dell'anello prodotto, che chiamo $Y=(y_{1},y_{2},y_{n})$$Y=(y_{1},y_{2},y_{n})$ nell'anello di arrivo (prodotto dei quozienti) e ne prendo la controimmagine. Per ogni $i$$i$ prendo $y_{i}$$y_i$ e ne considero una preimmagine $x_{i}$$x_i$ nell'epimorfismo canonico, cioè $x_{i}=\pi ^{-1}(y_{i})$$x_{i}=\pi ^{-1}(y_{i})$. Supponiamo che $x=\sum _{i=1}^{n}e_{i}x_{i}$$x=\sum _{i=1}^{n}e_{i}x_{i}$ dove $e_{i}$$e_{i}$ è in $\bigcap _{i\neq k}J_{k}$$\bigcap _{i\neq k}J_{k}$.

Alora devo provare che $\phi (x)=y$$\phi (x)=y$, cioè che ho effettivamente costruito una preimmagine $x$$x$ di $y$$y$.

$$\phi (x)=\phi (\sum _{j=1}^{n}e_{i}*x_{i})=\sum _{i=1}^{n}\phi (e_{i})*\phi (x_{i})$$

$$\phi (x)=\phi (\sum _{j=1}^{n}e_{i}*x_{i})=\sum _{i=1}^{n}\phi (e_{i})*\phi (x_{i})$$

$$\phi (e_{i})=\pi _{1}(e_{i}),\pi _{2}(e_{i}),\pi _{i}(e_{i}),\pi _{n}(e_{i})$$

$$\phi (e_{i})=\pi _{1}(e_{i}),\pi _{2}(e_{i}),\pi _{i}(e_{i}),\pi _{n}(e_{i})$$

$$\phi (x_{i})=\pi _{1}(x_{i}),\pi _{i}(x_{i}),\pi _{n}(x_{i})$$

$$\phi (x_{i})=\pi _{1}(x_{i}),\pi _{i}(x_{i}),\pi _{n}(x_{i})$$

Ho una sommatoria di prodotti di $n$$n$-uple

$$\sum _{i=1}^{n}(0,0,\pi _{i}(e_{i})=1,0,0,)*(\pi _{1}(x_{i}),\pi _{i}(x_{i}),\pi _{n}(x_{i}))=\sum _{i=1}^{n}(0,0,\pi _{i}(x_{i}),0,0)$$

$$\sum _{i=1}^{n}(0,0,\pi _{i}(e_{i})=1,0,0,)*(\pi _{1}(x_{i}),\pi _{i}(x_{i}),\pi _{n}(x_{i}))=\sum _{i=1}^{n}(0,0,\pi _{i}(x_{i}),0,0)$$

Ma $\pi _{i}(x_{i})$$\pi _{i}(x_{i})$ è $y_{i}$$y_i$. Ho una somma di $n$$n$-uple che risulta $y_{1},y_{2},y_{n}=Y$$y_{1},y_{2},y_{n}=Y$. Quindi $\phi$$\phi$ è suriettiva.

 

Congruenze modulo un ideale

Definizione (318)

Sia $R$$R$ un anello commutativo. Sia $J$$J$ un ideale di $R$$R$. Due elementi $x,y\in R$$x,y\in R$ si dicono congrui modulo l'ideale $J$$J$ ($x\equiv y\mod J$$x\equiv y\mod J$) se $j+x=j+y$$j+x=j+y$, ovvero se $x-y\in J$$x-y\in J$.

Se in particolare $J=(a)$$J=(a)$ è principale e generato da un elemento $a\in R$$a\in R$, scriveremo $x\equiv y\mod a$$x\equiv y\mod a$.

 

Osservazione (319)

Osserviamo che la suriettività di $\phi$$\phi$ si può interpretare nel modo seguente: assegnati comunque degli elementi $x_{1},x_{2},x_{n}$$x_{1},x_{2},x_{n}$ nell'anello $R$$R$, esiste sempre $x\in R$$x\in R$ tale che sia $x\equiv x_{i}\mod j_{i}$$x\equiv x_{i}\mod j_{i}$ per $i=1,n$$i=1,n$. Cioè presi $J_{1}+x_{1},J_{2}+x_{2},J_{n}+x_{n}$$J_{1}+x_{1},J_{2}+x_{2},J_{n}+x_{n}$ si ha che $x$$x$ e $x_{i}$$x_i$ stanno nello stesso laterale di $J_{i}$$J_{i}$ per ogni $i$$i$. (il punto $y$$y$ del teorema cinese ha come coordinate gli $a_{i}=J_{i}+x_{i}$$a_{i}=J_{i}+x_{i}$, gli $x_{i}$$x_i$ sono le controimmagini degli $a_{i}$$a_{i}$ e $x$$x$ è la controimmagine di $y$$y$ di cui il teorema garantisce l'esistenza).

 

Teorema cinese per gli interi

Esiste una versione del teorema cinese per $R=(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$R=(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$. Nell'anello degli interi ogni ideale è principale.

Osservazione (320)

Se due interi sono primi, allora i rispettivi ideali principali sono coprimi. Infatti $(a)+(b)$$(a)+(b)$ è un ideale principale e se $d$$d$ è il suo generatore, allora $d=M.C.D.(a,b)=1$$d=M.C.D.(a,b)=1$. Quindi $(a)+(b)$$(a)+(b)$ è un ideale generato dall'unità ed è $R$$R$, cioè $(a)$$(a)$ e $(b)$$(b)$ sono coprimi.

 

Corollario (321)

Siano $a_{1},a_{2},a_{n}$$a_{1},a_{2},a_{n}$ interi a due a due coprimi (in questo modo i rispettivi ideali sono coprimi). Allora assegnati comunque $x_{1},x_{2},x_{n}\in \mathbb {Z}$$x_{1},x_{2},x_{n}\in \mathbb {Z}$ il sistema di congruenze lineari

$${\begin{cases}x\equiv x_{1}\mod a_{1}\\x\equiv x_{2}\mod a_{2}\\x\equiv x_{n}\mod a_{n}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}x\equiv x_{1}\mod a_{1}\\x\equiv x_{2}\mod a_{2}\\x\equiv x_{n}\mod a_{n}\end{cases}}$$

ammette soluzioni intere. Questo significa che esiste un intero $x$$x$ che è una soluzione simultanea delle congruenze.

Se ${\bar {x}}$$\bar x$ è una soluzione, ogni altra soluzione è congrua a ${\bar {x}}$$\bar x$ modulo $N$$N$, con $N=a_{1}a_{2}a_{n}$$N=a_{1}a_{2}a_{n}$.

 

Dimostrazione

Basta osservare che gli ideali generati da $a_{1},a_{2},a_{n}$$a_{1},a_{2},a_{n}$ sono a due a due coprimi. Il nucleo di $\phi$$\phi$ è $\bigcap _{i=1}^{n}\{J_{i}\}$$\bigcap _{i=1}^{n}\{J_{i}\}$. L'intersezione è l'ideale generato dall'$L.C.M.$$L.C.M.$ (dominio a ideali principali), ma siccome $a_{1},a_{2},a_{n}$$a_{1},a_{2},a_{n}$ sono a due a due coprimi, si ha $L.C.M.=a_{1}*a_{2}*a_{n}$$L.C.M.=a_{1}*a_{2}*a_{n}$.

Tutte le soluzioni differiscono da questa per un elemento nel nucleo di $\phi$$\phi$.

 

La dimostrazione del teorema cinese dei resti contiene un algoritmo esplicito per la risoluzione di sistemi di questo tipo.

Teorema cinese per i polinomi

Corollario (322)

Su un campo $F$$F$ considero l'anello dei polinomi in una indeterminata $x$$x$.

Siano $a_{1}(x),\dots ,a_{n}(x)$$a_{1}(x),\dots ,a_{n}(x)$ polinomi appartenenti a $F[x]$$F[x]$. Supponiamo che siano coprimi. Allora assegnati comunque i polinomi $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{n}(x)$$f_{1}(x),f_{2}(x),f_{n}(x)$ a coefficienti in $f$$f$, il sistema di congruenze lineari polinomiali

$${\begin{cases}f(x)\equiv f_{1}(x)\mod a_{1}(x)\\f(x)\equiv f_{2}(x)\mod a_{2}(x)\\f(x)\equiv f_{n}(x)\mod a_{n}(x)\end{cases}}$$

$${\begin{cases}f(x)\equiv f_{1}(x)\mod a_{1}(x)\\f(x)\equiv f_{2}(x)\mod a_{2}(x)\\f(x)\equiv f_{n}(x)\mod a_{n}(x)\end{cases}}$$

ammette soluzioni in $F[x]$$F[x]$. Se $f(x)$$f(x)$ è una soluzione, $f(x)\equiv {\bar {f}}(x)\mod a_{1}(x)*a_{2}(x)*\dots *a_{n}(x)$$f(x)\equiv {\bar {f}}(x)\mod a_{1}(x)*a_{2}(x)*\dots *a_{n}(x)$.

In particolare esiste ed è unico un polinomio di grado inferiore a $a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{n}(x)$$a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{n}(x)$ soluzione del sistema.

Su $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ e $F[x]$$F[x]$ esiste un algoritmo della divisione.