Teorema cinese dei resti

Definizioni utili[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (313 Ideali coprimi)

In generale, sia un anello commutativo. Siano ideali di . si dicono coprimi se .

 


Definizione (314 Somma e prodotto nel prodotto cartesiano di anelli)

Siano anelli. Allora si dà al prodotto cartesiano una naturale struttura di anello. Si definiscono per ogni e la somma (calcolata rispettivamente negli anelli ) e il prodoto .

 

Teorema cinese dei resti[modifica | modifica wikitesto]

Proviamo la seguente condizione :

Proposizione (315 Condizione $\ast$)

per ogni , se considero l'ideale e l'intersezione con , è anch'esso un ideale di e la somma tra e è . In altre parole, se gli ideali sono a due a due coprimi, allora uno è coprimo con l'intersezione degli altri.

 
Dimostrazione

Per ipotesi, per ogni , . Dunque esistono un elemento e tali che . Questo vale per ogni . Segue che posso scrivere come il prodotto per ogni al variare di (prodotto di unità), dove per ogni ideale con si ha che esiste tale che .


Usando le proprietà distributive posso esplicitare il prodotto:

. Ma siccome il prodotto è contenuto nell'intersezione si ha la seguente catena di inclusioni:
. Allora l'unità è contenuta nell'ideale intersezione, quindi l'ideale coincide con . Ho provato che .

 
Osservazione (316)

Deduco che esistono un elemento ed tali che .


Se , applichiamo al primo e al secondo membro dell'uguaglianza la proiezione canonica . Allora

(questo perché e quindi anche in con , la sua imagine è lo zero del quoziente).

In particolare, se , Se , . ( perché e la sua immagine mediante è lo zero del quoziente) Si ha quindi uguale all'unità .


per ogni e , cioè il di Kroneker.

 


Teorema (317 Teorema cinese dei resti)

Sia un anello commutativo e siano ideali di a due a due coprimi. Sia per la proiezione canonica da all'anello quoziente rispetto all'anello . Allora l'applicazione (anello prodotto degli anelli quoziente) definita ponendo per ogni , uguale alla -upla delle immagini di mediante , cioè è un epimorfismo di anelli con nucleo , in particolare è isomorfo a

 
Dimostrazione

Si verifica immediatamente che è un morfismo di anelli e il nucleo è l'intersezione dei , perché un elemento sta nel nucleo se per ogni , nell'anello quoziente . Ma lo zero dell'anello quoziente è , quindi se è uguale allo zero del quoziente, allora . Quindi è ovvio che .


L'ipotesi che i due ideali sono a due a due coprimi serve per dimostrare che è suriettiva. Proviamo la suriettività di . Prendiamo una qualsiasi -upla dell'anello prodotto, che chiamo nell'anello di arrivo (prodotto dei quozienti) e ne prendo la controimmagine. Per ogni prendo e ne considero una preimmagine nell'epimorfismo canonico, cioè . Supponiamo che dove è in .


Alora devo provare che , cioè che ho effettivamente costruito una preimmagine di .

Ho una sommatoria di prodotti di -uple
Ma è . Ho una somma di -uple che risulta . Quindi è suriettiva.

 

Congruenze modulo un ideale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (318)

Sia un anello commutativo. Sia un ideale di . Due elementi si dicono congrui modulo l'ideale () se , ovvero se .


Se in particolare è principale e generato da un elemento , scriveremo .

 


Osservazione (319)

Osserviamo che la suriettività di si può interpretare nel modo seguente: assegnati comunque degli elementi nell'anello , esiste sempre tale che sia per . Cioè presi si ha che e stanno nello stesso laterale di per ogni . (il punto del teorema cinese ha come coordinate gli , gli sono le controimmagini degli e è la controimmagine di di cui il teorema garantisce l'esistenza).

 

Teorema cinese per gli interi[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una versione del teorema cinese per . Nell'anello degli interi ogni ideale è principale.

Osservazione (320)

Se due interi sono primi, allora i rispettivi ideali principali sono coprimi. Infatti è un ideale principale e se è il suo generatore, allora . Quindi è un ideale generato dall'unità ed è , cioè e sono coprimi.

 


Corollario (321)

Siano interi a due a due coprimi (in questo modo i rispettivi ideali sono coprimi). Allora assegnati comunque il sistema di congruenze lineari

ammette soluzioni intere. Questo significa che esiste un intero che è una soluzione simultanea delle congruenze.


Se è una soluzione, ogni altra soluzione è congrua a modulo , con .

 
Dimostrazione

Basta osservare che gli ideali generati da sono a due a due coprimi. Il nucleo di è . L'intersezione è l'ideale generato dall' (dominio a ideali principali), ma siccome sono a due a due coprimi, si ha .


Tutte le soluzioni differiscono da questa per un elemento nel nucleo di .

 

La dimostrazione del teorema cinese dei resti contiene un algoritmo esplicito per la risoluzione di sistemi di questo tipo.

Teorema cinese per i polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Corollario (322)

Su un campo considero l'anello dei polinomi in una indeterminata .


Siano polinomi appartenenti a . Supponiamo che siano coprimi. Allora assegnati comunque i polinomi a coefficienti in , il sistema di congruenze lineari polinomiali

ammette soluzioni in . Se è una soluzione, .

In particolare esiste ed è unico un polinomio di grado inferiore a soluzione del sistema.

Su e esiste un algoritmo della divisione.

 
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