Morfismi

Anello quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Se ho due anelli arbitrari un'applicazione lineare tra i due anelli è un morfismo se conserva la somma, il prodotto e l'unità.


Il nucleo di un morfismo è l'insieme di tutti gli elementi di che hanno come immagine lo zero di (è il nucleo del morfismo che si avrebbe se si considerano i due anelli come gruppi additivi).


Come nel caso dei gruppi, ad ogni congruenza e quindi ad ogni ideale e ad ogni nucleo è associato un anello quoziente.


Sia un anello e un ideale (bilatero). Allora l'insieme quoziente di rispetto alla congruenza di nucleo si denota con .


Gli elementi di sono i laterali additivi di , cioè un generico elemento consiste di tutti gli elementi che differiscono da per un elemento di .


Siccome è il nucleo di una congruenza, le operazioni di somma e prodotto definite su inducono operazioni di somma e prodotto di laterali nell'insieme quoziente . La somma è tale che Analogamente il prodotto .


Con queste operazioni l'insieme quoziente è un anello chiamato anello quoziente di rispetto all'ideale .


Lo zero dell'anello quoziente è la classe che contiene lo zero di , cioè il laterale che coincide con . L'unità è .


Se è un anello commutativo, anche il quoziente lo è.


Se è privo di divisori dello zero, il quoziente potrebbe non esserlo.

Epimorfismo canonico[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo considerare l'applicazione tale che preso un elemento la sua immagine è il laterale che contiene . Quest'applicazione è un epimorfismo e ha come nucleo .


Pensando ai gruppi additivi può essere considerato come epimorfismo canonico.


Anche in questo caso si definisce epimorfismo canonico di sul quoziente.


Quindi il quoziente per qualsiasi ideale di è epimorfo a .

Teorema fondamentale di epimorfismo per gli anelli[modifica | modifica wikitesto]

Dati due anelli e un morfismo , se consideriamo il nucleo del morfismo esso è un ideale. Infatti, è l'ìinsieme degli elementi che hanno come immagine . Rispetto alla relazione che è la relazione di equivalenza associata a come applicazione, il ker è un ideale: infatti, mediante la , gli elementi con la stessa immagine sono associati tra loro, siccome l'immagine di è uguale a , allora il ker è l'insieme degli elementi associati a zero mediante , ed è il nucleo della congruenza , che è un ideale.


Possiamo dire che è una congruenza perché se e allora .


Teorema (299)

Sia un morfismo. Allora

  1. Se è la relazione di equivalenza associata a , questa relazione è una congruenza sull'anello (compatibile

con somma e prodotto); è la classe dello zero ed è un ideale di .

  1. Se considero l'anello quoziente e considero l'epimorfismo canonico:

allora esiste ed è unica un'applicazione da a tale che si possa fattorizzare come . è l'applicazione che porta un laterale in .

  1. è un monomorfismo (per la parte di questo teorema riguardante i gruppi), è un isomorfismo se e solo se è suriettivo.


Il teorema fondamentale sui morfismi dice che se è immagine epimorfa di , allora è isomorfa all'anello quoziente .

 

Il caso degli interi[modifica | modifica wikitesto]

Se consideriamo l'anello degli interi , osserviamo che ogni sottogruppo di è ciclico cioè ha la forma: .


Se ho il sottogruppo del solo zero, se ho tutto . Negli altri casi il sottogruppo è un ideale dell'anello . Infatti, preso un qualsiasi elemento multiplo di , se lo moltiplico per un qualsiasi intero , esso è ancora un multiplo di . Quindi ogni sottogruppo ciclico di quella forma è ancora un ideale.


Gli ideali sono tutti e soli i sottogruppi ciclici di .


Poniamo . Allora se o , l'anello quoziente con è l'anello delle classi di resto modulo .


I laterali sono della forma che è l'insieme di tutti gli elementi che differiscono da per un multiplo di .


Se il quoziente è isomorfo all'anello .


Se consideriamo il teorema fondamentale sui morfismi, siccome tutte e sole le immagini epimorfe sono a meno di isomorfismo i gruppi quoziente, allora tutte le immagini epimorfe di sono , e l'anello delle classi di resto modulo .

Caratteristica di un anello[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello non banale, generico e definiamo l'applicazione

definita ponendo , cioè per ogni intero si associa il multiplo secondo dell'unità di . Questo è un morfismo di anelli.


Siano due interi. è un morfismo, infatti:

  1. conserva la somma;

(l'immagine della somma è la somma delle immagini. Si dimostra applicando la proprietà delle potenze in versione additiva)

  1. Conserva il prodotto:

Dipende dalla proprietà e dalle proprietà delle potenze.

  1. conserva l'unità:

Quindi è un morfismo. La sua immagine è un sottonaello di . In questo caso il sottoanello che si ottiene è l'insieme dei multipli dell'unità.


Il nucleo di è l'insieme (in notazione additiva). Nel gruppo additivo dell'anello l'insieme dei multipli di equivale all'insieme delle potenze additive di .


Se in è finito, allora , cioè è l'ideale costituito dai multipli di .


Se invece (nel gruppo additivo) allora non esiste per cui e quindi .


Nel primo caso per il teorema fondamentale sui morfismi, se è uguale a finito, allora (classi di resto modulo ) è isomorfo all'immagine del morfismo , cioè ai multipli dell'unità.


Se invece in è infinito, si ha che l'immagine è isomorfo a .


Definizione (300 Caratteristica)

Se in è , diremo che è un anello di caratteristica. Altrimenti se , allora ha caratteristica zero.

 



Se l'anello è un dominio, allora ci sono due possibilità:

  1. se si ha un dominio di caratteristica , come
  2. se ha caratteristica finita, è isomorfo alle classi di resto modulo , ma l'insieme delle classi modulo

è privo di divisori dello zero se e solo se è primo. Quindi in un dominio di caratteristica il periodo dell'unità è necessariamente primo. perché . Quindi in un campo di caratteristica , non solo l'unità ma anche ogni elemento diverso da ha periodo .


Osservazione (301)

L'identità di Bézout vale in ogni dominio in cui ogni coppia di elementi ha un ..

 
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