Ideali primi e massimali

Somma, prodotto e intersezione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere un anello commutativo. Supponiamo che siano ideali di , allora possiamo considerare

  1. la somma, cioè

questo è un ideale (è chiuso rispetto alla differenza e rispetto al prodotto per elementi dell'anello). Esso è il più piccolo ideale che contiene .

  1. l'intersezione insiemistica , che è un ideale di .
  2. il prodotto di due ideali è l'insieme

. (infatti non è detto che l'insieme di tutti i possibili prodotti sia chiuso rispetto alla somma).


Nota: Il prodotto così definito è contenuto nell'intersezione.

Ideale generato da un insieme[modifica | modifica wikitesto]

In generale, presa una qualsiasi famiglia di ideali, si può definire l'ideale generato dalla famiglia.


Definizione (302 Ideale generato da un insieme)

Sia un insieme finito di elementi di . Allora si dice ideale generato dall'insieme l'ideale .

 


Proposizione (303)

Sia un anello, non necessariamente commutativo e un ideale. Allora possiamo considerare l'anello quoziente . Il morfismo canonico che ad ogni elemento associa il laterale induce una biezione fra l'insieme degli ideali di contenenti e l'insieme degli ideali dell'anello quoziente .

 
Dimostrazione

Consideriamo per ogni ideale contenente l'immagine . Allora verifichiamo che è un ideale di contenente . Verifichiamo che è chiusa rispetto alla differenza, cioè che

perché è un morfismo.


Siccome un ideale è chiuso rispetto alla differenza, , cioè .


Inoltre devo verificare che per ogni , se moltiplico ottengo ancora un elemento di (chiusura rispetto al prodotto: gli sono gli elementi dell'anello quoziente). Questo è vero perché per definizione di epimorfismo canonico e quindi

e ottengo , perché siccome è un ideale, .


La biezione richiesta dall'enunciato è l'applicazione che a ogni associa la sua immagine nell'epimorfismo canonico.

  1. è iniettiva. Supponiamo che siano due ideali contenenti e supponiamo . Questo significa che per ogni esiste tale che . Segue che se i due laterali coincidono, allora i due rappresentanti differiscono per un elemento di , quindi esiste tale che .


contiene , quindi . Ho la somma di due elementi di che appartiene a . Quindi . Per simmetria, è vero che . Quindi . Se due ideali hanno la stessa immagine, allora coincidono.

  1. è suriettiva. Sia un qualsiasi ideale di , allora devo mostrare che ha una preimmagine. Sia l'insieme di

tutte le preimmagini mediante l'epimorfismo canonico . Si verifica facilmente che è un ideale di (contenente ). L'insieme di tutte le preimmagini dello zero dell'anello quoziente è . . (la preimmagine di un ideale in un morfismo è un ideale)


Quindi è una biezione.

 



Notazione: Per comodità si scrive spesso ( è un ideale che contiene ).

Teoremi di isomorfismo per gli anelli[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (304)

Sia un anello. Se è un ideale di e un sottoanello di , allora la somma è un sottoanello di . Siccome , l'intersezione è un ideale di e c'è un isomorfismo tra l'anello quoziente e il quoziente .

 
Dimostrazione

Si consideri il morfismo dall'anello all'anello quoziente che ad ogni elemento associa il laterale . Questa mappa è un epimorfismo, è suriettiva perché ogni elemento del quoziente ha come preimmagine .


Il nucleo è

ed è fatto da tutti e soli gli elementi di che stanno anche in , quindi se quoziento rispetto al nucleo che è , ottengo un anello isomorfo a quello di arrivo, cioè .

 


Teorema (305)

Sia e siano ideali di . Allora è un ideale dell'anello quoziente e il quoziente è isomorfo all'anello quoziente (posso semplificare per ).

 
Dimostrazione

Considero la mappa che a ogni elemento di associa l'elemento . Il nucleo è

e questo avviene quando . Quindi il nucleo è e l'anello di arrivo è isomorfo all'anello di partenza quozientato per il nucleo.

 

Ideali primi e massimali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (306 Ideali primi e massimali)

Considero un anello commutativo non banale. Sia un ideale nell'anello .

  1. si dice primo se per , se il prodotto , allora o .
  2. si dice massimale se la catena di inclusioni con ideale di implica o .

(in altre parole, non esiste nessun altro ideale dell'anello che contenga e che sia diverso da o da )

 



L'ideale nullo dell'anello è primo se e solo se è un dominio.


Proposizione (307)

Sia un anello commutativo e un ideale di . Allora

  1. l'ideale è primo se e solo se l'anello quoziente è un dominio
  2. è massimale se e solo se è un campo.
 
Dimostrazione

Siano .


L'asserzione implica è equivalente all'asserzione implica o . Siccome , la seconda asserzione dice che è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.


Dire che è massimale di equivale a dire che non c'è nessun ideale compreso tra e nella catena di inclusioni. Questo avviene se e solo se è privo di ideali non banali (questo perché preso un ideale che contiene , la sua immagine mediante è un ideale di . Se ha solo ideali banali, si ha che o ). Se è un anello commutativo, allora è privo di ideali non banali se e solo se è un campo (per un corollario), cioè se è generato da un elemento unitario, quindi se e solo se è un campo.

 

osservazioni sui fattori[modifica | modifica wikitesto]

In un dominio, se e solo se esiste tale che . è un fattore banale se differisce da per un elemento unitario , oppure se è lui stesso unitario.


Due fattori si dividono a vicenda se i due ideali principali coincidono.


Sia un dominio. Dire che è un fattore proprio non banale di un elemento nel dominio equivale a dire che l'ideale principale è contenuto propriamente nell'ideale principale generato da .

Domini a ideali principali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (308 Dominio a ideali principali)

Un dominio si dice a ideali principali (PID) se e solo se ogni suo ideale è principale.

 
Proposizione (309)

Sia un dominio a ideali principali.

  1. Sia , non unitario. L'ideale principale generato da un elemento è primo se e solo se è primo.
  2. L'ideale è massimale se e solo se è irriducibile.
 
Dimostrazione
  1. Basta applicare la definizione, infatti se è un elemento non unitario, , con .

Se è primo, si ha che ogni volta che , o o . Segue immediatamente che se , allora e . Allora o e quindi o o , cioè è primo. Viceversa, se è primo, si ha che se , o o , quindi , cioè è primo.

  1. Se l'elemento è irriducibile, non ammette fattori non banali, e quindi non si può trovare un

fattore tale che e diverso da .

 

m.c.m. e M.C.D.[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (310 Massimo comun divisore)

Sia un dominio e siano . Un elemento si dice massimo comun divisore tra se e per ogni elemento tale che e , allora .


Non è detto che due elementi in un dominio abbiano sempre un .

 


Osservazione (311)

Se ho due massimi comun divisori, allora e quindi i due ideali coincidono, e questo implica che e differiscono per un elemento unitario.


Un è unico a meno di un elemento unitario. Ad esempio, negli anelli dei polinomi gli elementi unitari sono le costanti, quindi due massimi comun divisori differiscono al più+ per una costante.


Un elemento si dice minimo comune multiplo () di se e e per ogni tale che e , allora .


Condizione necessaria e sufficiente affinché sia a ideali principali è che sia un campo. è un dominio a ideali principali.

 


Proposizione (312)

Sia un dominio a ideali principali. Siano . Allora valgono le seguenti proprietà:

  1. (ideale generato da e ) è a sua volta principale,

cioè contiene un elemento che genera l'intero ideale. . Quindi e in ogni dominio a ideali principali vale l'identità di Bézout.

  1. è un ideale principale. Se è un suo generatore,
 
Dimostrazione

Per il punto 1, esiste tale che . Allora appartengono a , ovvero e . Inoltre, siccome , esistono tali che . Se e , allora , cioè . In particolare, vale la cosiddetta identità di Bézout.


Per il punto 2, esiste tale che . Allora dev'essere un multiplo sia di che di , cioè , . Se è tale che e , allora e quindi . Siccome allora cioè . Quindi è un .

 



Dato un anello commutativo e presi due ideali e , essi sono coprimi se la somma è l'intero dominio. La somma è l'intero dominio quando è unitario.

M.C.D. di una lista[modifica | modifica wikitesto]

Presi due elementi si possono definire e . Se considero l'ideale generato da e , cioè anch'esso è principale e se è un suo generatore, . Per quanto riguarda , se è un suo generatore, allora

Se considero posso definire induttivamente . Similmente si definisce l' di una lista di elementi.


Se considero esso è principale quindi è generato da con . Analogamente, l'ideale è un ideale principale generato da .

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