Generalità sugli anelli

Definizione

Definizione (239 Anello)

Una terna costituita da un insieme non vuoto $A$$A$ su cui si definiscono due operazioni binarie $+,\cdot$$+,\cdot$ si dice anello se sono soddisfatti i seguenti assiomi:

1. $(A,+)$$(A,+)$ è un gruppo abeliano;
2. $(A,\cdot )$$(A,\cdot )$ è un monoide, cioè un semigruppo con unità;
3. Valgono le proprietà distributive, cioè per ogni $a,b,c\in A$$a,b,c\in A$, $a*(b+c)=ab+ac$$a*(b+c)=ab+ac$ e anche $(a+b)*c=ac+bc$$(a+b)*c=ac+bc$.

Se inoltre il prodotto è commutativo, si dice che $A$$A$ è un anello commutativo.

 

Nota: Non è necessario che il prodotto sia commutativo, per questo si definiscono le proprietà distributive a sinistra e a destra.

L'elemento neutro rispetto alla somma si indica con $0_{A}$$0_{A}$ e si chiama zero dell'anello.

L'unità rispetto al prodotto, $1_{A}$$1_{A}$, cioè l'unità del monoide $(A,\cdot )$$(A,\cdot )$ si dice unità dell'anello.

Esempi

Esempio (240)

$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$$(\mathbb {R} ,+,\cdot )$$(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ e $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$$(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.

 

Esempio (241)

Nell'insieme delle classi di resti modulo $n$$n$$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ con $n>1$$n>1$ fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la terna $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ è un anello finito commutativo.

 

Esempio (242)

Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio $M=Mat(n,A)$$M=Mat(n,A)$, cioè l'insieme di tutte le matrici $n\times n$$n\times n$, a coefficienti nell'anello $A$$A$, con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se $n>1$$n>1$, se $n=1$$n=1$ l'anello si identifica con $A$$A$. Se $A$$A$ è finito, $mat(n,A)$$mat(n,A)$ è finito.

 

Proprietà elementari

Proposizione (243)

Sia $A$$A$ un anello. $\forall a,b\in A$$\forall a,b\in A$, $\forall n\in \mathbb {Z}$$\forall n\in \mathbb {Z}$ valgono le seguenti proprietà:

1. Proprietà dello zero: $\forall a\in A$$\forall a\in A$, $0*a=a*0=0$$0*a=a*0=0$.
2. Regola dei segni: Presi due elementi $a,b$$a,b$, allora $(-a)*b=a*(-b)=-(ab)$$(-a)*b=a*(-b)=-(ab)$.
3. Multipli: $(na)b=a(nb)=nab$$(na)b=a(nb)=nab$$na=$$na=$ multiplo di $a$$a$ secondo $n$$n$.

 

Dimostrazione (Proprietà dello zero)

Prendo il quadrato di $A$$A$, cioè $a^{2}=a\cdot a=(a+0)*a=a*a+a*0$$a^{2}=a\cdot a=(a+0)*a=a*a+a*0$ per la proprietà distributiva. Quindi $a^{2}=a^{2}+a*0$$a^{2}=a^{2}+a*0$. Nel gruppo additivo valgono le proprietà di cancellazione, cioè posso togliere $a^{2}$$a^{2}$ da entrambi i membri. Quindi $a*0=0$$a*0=0$.

 

Dimostrazione (Regola dei segni)

E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:

$$0=a*0=a*(b+(-b))=a*b+a*(-b)$$

$$0=a*0=a*(b+(-b))=a*b+a*(-b)$$

cioè

$$0=ab+a(-b)$$

$$0=ab+a(-b)$$

cioè $a*(-b)$$a*(-b)$ è l'opposto di $ab$$ab$ e quindi è uguale a $-ab$$-ab$. Similmente si prova che $(-a)*b$$(-a)*b$ è l'opposto di $ab$$ab$.

 

Dimostrazione (Multipli)

Si dimostra per induzione su $n$$n$ se $n\geq 0$$n\geq 0$. L'asserto è vero per $n=0$$n=0$ e quindi il multiplo $na$$na$ è $0$$0$. Per $n=1$$n=1$ si ottiene

$$(a)b=a(b)=ab$$

$$(a)b=a(b)=ab$$

quindi l'asserto è vero. Supponiamo vero l'asserto per $n=k-1>0$$n=k-1>0$ e lo dimostriamo per $n=k$$n=k$.

$$[((n-1)+1)a]b=(na)b$$

$$[((n-1)+1)a]b=(na)b$$

Applicando la proprietà distributiva:

$$[(n-1)a+a]b=((n-1)a)b+(a)b$$

$$[(n-1)a+a]b=((n-1)a)b+(a)b$$

Per l'ipotesi induttiva posso scrivere:

$$a*((n-1)b)+a(1b)$$

$$a*((n-1)b)+a(1b)$$

$$a*[(n-1)b+1b]=a*[(n-1+1)b]=a*(nb)$$

$$a*[(n-1)b+1b]=a*[(n-1+1)b]=a*(nb)$$

Se $n<0$$n<0$ si passa a considerare $-n$$-n$ che è positivo. Per $-n$$-n$ questo è vero per la dimostrazione per induzione.

 

Definizione (244 Anello banale)

Un anello con il solo zero si chiama anello banale. Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.

 

Osservazione (245)

Conseguenza della proprietà dello zero: Supponiamo $a\in A,a\neq 0$$a\in A,a\neq 0$, cioè l'anello $A$$A$ è diverso dall'anello banale. L'unità e lo zero non coincidono, infatti $a*1_{A}=a$$a*1_{A}=a$ ma per la proprietà dello zero $a*0=0$$a*0=0$, quindi $1_{A}\neq 0$$1_{A}\neq 0$ perché ho scelto $a\neq 0$$a\neq 0$.