Definizione (239 Anello)
Una terna costituita da un insieme non vuoto
su cui si definiscono due operazioni binarie
si dice anello
se sono soddisfatti i seguenti assiomi:
è un gruppo abeliano;
è un monoide, cioè un semigruppo con unità;
- Valgono le proprietà distributive, cioè per ogni
,
e anche
.
Se inoltre il prodotto è commutativo, si dice che
è un anello commutativo.
Nota: Non è necessario che il prodotto sia commutativo, per questo si definiscono le proprietà distributive a sinistra e a destra.
L'elemento neutro rispetto alla somma si indica con
e si chiama zero dell'anello.
L'unità rispetto al prodotto,
, cioè l'unità del monoide
si dice unità dell'anello.
Esempio (240)
, 
e
rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.
Esempio (241)
Nell'insieme delle classi di resti modulo 
con
fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la
terna
è un anello finito commutativo.
Esempio (242)
Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio
, cioè l'insieme di tutte le matrici
, a coefficienti nell'anello
,
con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se
, se
l'anello si identifica con
.
Se
è finito,
è finito.
Proposizione (243)
Sia
un anello.
,
valgono le seguenti proprietà:
- Proprietà dello zero:
,
.
- Regola dei segni: Presi due elementi
, allora
.
- Multipli:

multiplo di
secondo
.
Dimostrazione (Proprietà dello zero)
Prendo il quadrato di
, cioè
per la proprietà distributiva.
Quindi
.
Nel gruppo additivo valgono le proprietà di cancellazione, cioè posso togliere
da entrambi i membri.
Quindi
.
Dimostrazione (Regola dei segni)
E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:

cioè

cioè

è l'opposto di

e quindi è uguale a

.
Similmente si prova che

è l'opposto di

.
Dimostrazione (Multipli)
Si dimostra per induzione su
se
. L'asserto è vero per
e quindi il multiplo
è
.
Per
si ottiene

quindi l'asserto è vero.
Supponiamo vero l'asserto per

e lo dimostriamo per

.
![{\displaystyle [((n-1)+1)a]b=(na)b}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/203b810340f4767ff7d03330abb618f278a3f2a4)
Applicando la proprietà distributiva:
![{\displaystyle [(n-1)a+a]b=((n-1)a)b+(a)b}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1b9d362e78a9d216d0d629a9369dc1da1bc268bf)
Per l'ipotesi induttiva posso scrivere:

![{\displaystyle a*[(n-1)b+1b]=a*[(n-1+1)b]=a*(nb)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/5167fbd33d3b61b70085625e153246d8fdf74b0e)
Se

si passa a considerare

che è positivo. Per

questo è vero per la dimostrazione per induzione.
Definizione (244 Anello banale)
Un anello con il solo zero si chiama anello banale.
Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.
Conseguenza della proprietà dello zero:
Supponiamo
, cioè l'anello
è diverso dall'anello banale.
L'unità e lo zero non coincidono, infatti
ma per la proprietà dello zero
, quindi
perché ho scelto
.