Fattorizzazione

Divisibilità e fattori[modifica | modifica wikitesto]

Nei domini si ha una nozione di divisibilità.


Definizione (293)

Sia un dominio e siano . Diciamo che divide e scriviamo se esiste tale che (ovvero, appartiene all'ideale principale generato da ).

 


Osservazione (294)

e se e solo se e coincidono, ovvero e differiscono per un elemento unitario.

 


Definizione (295 Fattore)

Se , diremo che è un fattore di nel dominio e diremo che è un fattore banale se è unitario o differisce da per un elemento unitario, cioè con . Gli altri si chiamano fattori propri.

 

Elementi primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (296 Elemento primo)

Sia un dominio. Un elemento diverso dallo zero e non unitario si dice primo se ogni qualvolta , allora o .

 


Definizione (297 Elemento irriducibile)

Se non nullo e non unitario, si dice irriducibile in se non ammette fattorizzazioni non banali, cioè se implica o .

 


In un numero primo è diverso da zero e da con la proprietà che se divide il prodotto di due interi, divide almeno uno dei due elementi.


Ad esempio, non è primo perché e e . Gli irriducibili sono quelli che si scrivono come o , perché gli unici unitari sono .

In le nozioni di numeri primi e irriducibili coincidono, ma in un dominio generico le due nozioni possono indicare classi distinte.

Relazione tra primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (298)

In ogni dominio ogni elemento primo è anche irriducibile, ma in generale non vale viceversa.

 
Dimostrazione

Sia primo. Proviamo che è irriducibile.


Supponiamo che con . Allora è un fattore del prodotto , se scrivo . Siccome è primo, allora divide uno dei due fattori. Allora se divide esiste tale che . Segue che e semplificando ottengo . Questo significa che sono unitari.


Se , allora ed esiste tale che . Cioè , allora semplificando per ottengo e quindi . Anche in questo caso la fattorizzazione è banale.

 
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