Fattorizzazione
Divisibilità e fattori[modifica | modifica wikitesto]
Nei domini si ha una nozione di divisibilità.
Sia un dominio e siano . Diciamo che divide e scriviamo se esiste tale che (ovvero, appartiene all'ideale principale generato da ).
e se e solo se e coincidono, ovvero e differiscono per un elemento unitario.
Se , diremo che è un fattore di nel dominio e diremo che è un fattore banale se è unitario o differisce da per un elemento unitario, cioè con . Gli altri si chiamano fattori propri.
Elementi primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]
Sia un dominio. Un elemento diverso dallo zero e non unitario si dice primo se ogni qualvolta , allora o .
Se non nullo e non unitario, si dice irriducibile in se non ammette fattorizzazioni non banali, cioè se implica o .
In un numero primo è diverso da zero e da con la proprietà che se divide il prodotto di due interi, divide
almeno uno dei due elementi.
Ad esempio, non è primo perché e e .
Gli irriducibili sono quelli che si scrivono come o , perché gli unici unitari sono .
In le nozioni di numeri primi e irriducibili coincidono, ma in un dominio generico le due nozioni possono indicare classi distinte.
Relazione tra primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]
In ogni dominio ogni elemento primo è anche irriducibile, ma in generale non vale viceversa.
Sia primo. Proviamo che è irriducibile.
Supponiamo che con . Allora è un fattore del prodotto , se scrivo .
Siccome è primo, allora divide uno dei due fattori.
Allora se divide esiste tale che . Segue che e semplificando ottengo . Questo
significa che sono unitari.
Se , allora ed esiste tale che . Cioè , allora
semplificando per ottengo e quindi . Anche in questo caso la fattorizzazione è banale.