Fattorizzazione

Divisibilità e fattori

Nei domini si ha una nozione di divisibilità.

Definizione (293)

Sia $D$$D$ un dominio e siano $a,b\in D$$a,b\in D$. Diciamo che $a$$a$ divide $b$$b$ e scriviamo $a\mid b$$a\mid b$ se esiste $c\in D$$c\in D$ tale che $b=a*c$$b=a*c$ (ovvero, $b$$b$ appartiene all'ideale principale generato da $a$$a$).

 

Osservazione (294)

$a\mid b$$a\mid b$ e $b\mid a$$b\mid a$ se e solo se $(a)$$(a)$ e $(b)$$(b)$ coincidono, ovvero $a$$a$ e $b$$b$ differiscono per un elemento unitario.

 

Definizione (295 Fattore)

Se $a\mid b$$a\mid b$, diremo che $a$$a$ è un fattore di $b$$b$ nel dominio $D$$D$ e diremo che $a$$a$ è un fattore banale se $a$$a$ è unitario o differisce da $b$$b$ per un elemento unitario, cioè $a=ub$$a=ub$ con $u\in U$$u\in U$. Gli altri si chiamano fattori propri.

 

Elementi primi e irriducibili

Definizione (296 Elemento primo)

Sia $D$$D$ un dominio. Un elemento $p\in D$$p\in D$ diverso dallo zero e non unitario si dice primo se ogni qualvolta $p\mid xy$$p\mid xy$, allora $p\mid x$$p\mid x$ o $p\mid y$$p\mid y$.

 

Definizione (297 Elemento irriducibile)

Se $p\in D$$p\in D$ non nullo e non unitario, si dice irriducibile in $D$$D$ se non ammette fattorizzazioni non banali, cioè se $p=xy$$p=xy$ implica $x\in U$$x\in U$ o $y\in U$$y\in U$.

 

In $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ un numero primo è diverso da zero e da $\pm 1$$\pm 1$ con la proprietà che se divide il prodotto di due interi, divide almeno uno dei due elementi.

Ad esempio, $4$$4$ non è primo perché $4\mid 12=4*3=2*6$$4\mid 12=4*3=2*6$ e $4\not \mid 2$$4\not \mid 2$ e $4\not \mid 6$$4\not \mid 6$. Gli irriducibili sono quelli che si scrivono come $z=z*1$$z=z*1$ o $z=-1*z$$z=-1*z$, perché gli unici unitari sono $\pm 1$$\pm 1$.

In $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ le nozioni di numeri primi e irriducibili coincidono, ma in un dominio generico le due nozioni possono indicare classi distinte.

Relazione tra primi e irriducibili

Proposizione (298)

In ogni dominio $D$$D$ ogni elemento primo è anche irriducibile, ma in generale non vale viceversa.

 

Dimostrazione

Sia $p\in D$$p\in D$ primo. Proviamo che è irriducibile.

Supponiamo che $p=b*c$$p=b*c$ con $b,c\in D$$b,c\in D$. Allora $p$$p$ è un fattore del prodotto $bc$$bc$, se scrivo $1*p=bc$$1*p=bc$. Siccome $p$$p$ è primo, allora divide uno dei due fattori. Allora se divide $b$$b$ esiste $d$$d$ tale che $b=p*d$$b=p*d$. Segue che $p=bc=pdc$$p=bc=pdc$ e semplificando ottengo $dc=1$$dc=1$. Questo significa che $d,c$$d,c$ sono unitari.

Se $p\nmid b$$p\nmid b$, allora $p\mid c$$p\mid c$ ed esiste $e\in D$$e\in D$ tale che $c=e*p$$c=e*p$. Cioè $p=bc=bpe$$p=bc=bpe$, allora semplificando per $p$$p$ ottengo $be=1$$be=1$ e quindi $b\in U$$b\in U$. Anche in questo caso la fattorizzazione $d=b*c$$d=b*c$ è banale.