Classi di elementi

In un anello ci sono due classi di elementi che svolgono una funzione importante:

  1. i divisori dello zero;
  2. gli elementi unitari.

Divisore dello zero[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono anelli in cui è possibile che il prodotto di due elementi diversi dallo zero sia uguale a 0.


In altri anelli invece il prodotto di due elementi diversi da 0 è sempre diverso da 0 (vale la proprietà di annullamento del prodotto).


Definizione (246)

Un elemento , si dice divisore dello zero se esiste almeno un altro elemento anch'esso diverso dallo zero dell'anello tale che sia o (l'anello non è necessariamente commutativo).

 


In altre parole, un anello diverso da è privo di divisori dello zero se e solo se, il prodotto tra due elementi qualsiasi diversi da zero, il prodotto è sempre diverso da zero.


Se chiamo un anello è privo di divisori dello zero se è chiuso rispetto al prodotto.


Esempio (247)

L'anello è un anello privo di divisori dello zero. Questa è una conseguenza degli assiomi dell'aritmetica degli interi. Anche gli anelli sono privi di divisori dello zero.

 
Esempio (248)

L'anello delle classi di resti modulo è privo di divisori dello zero se e solo se è primo.

 
Dimostrazione

Sia non primo, allora si può fattorizzare come prodotto di due primi , dove e . Allora considerando il prodotto le due classi sono diverse dalla classe ma il loro prodotto . Viceversa, sia primo e si supponga che ci siano divisori dello zero. Allora se sta nella classe zero, è divisibile per . Se , allora o o , cioè oppure . Quindi se non ci sono divisori dello zero.

 


Definizione (249 Numero primo)

Un intero relativo , si dice primo se ogni volta che , o o .

 
Definizione (250 Numero irriducibile)

Un numero è irriducibile se è divisibile solo per se stesso e per .

 

Queste due definizioni definiscono la stessa classe di interi, cioè, un intero è primo se e solo se è irriducibile.


Esempio (251)

Consideriamo l'anello non commutativo delle matrici quadrate . Per ogni questo anello cotiene i divisori dello zero. Se chiamiamo la matrice elementare che ha nel posto e altrove, e facciamo il prodotto righe per colonne con , il prodotto è

per . Per ogni si ottiene la matrice nulla.

 

Condizione necessaria e sufficiente[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (252)

Un anello è privo di divisori dello zero se e solo se valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ovvero se per ogni , e per ogni si ha che se , allora e analogamente se allora .

 



Nota: Nell'anello delle matrici non valgono le leggi di cancellazione.


Dimostrazione

Supponiamo che sia privo di divisori dello zero. Sia e . Segue che

Per le proprietà distributive:
Si conclude che siccome e siccome è privo di divisori dello zero, e quindi . Similmente a destra.


Viceversa, supponiamo che valgano le leggi di cancellazione e sia , con . Allora usando la proprietà dello zero, si può scrivere

Siccome valgono le leggi di cancellazione si può semplificare per e quindi si ottiene . Similmente se .

 


Definizione (253 Dominio di integrità)

Un anello commutativo e privo di divisori dello zero si dice dominio (di integrità).

 

Elementi invertibili rispetto al prodotto[modifica | modifica wikitesto]

In un anello, preso un elemento , non necessariamente esiste l'inverso di rispetto al prodotto (infatti negli assiomi di anello, è un monoide). Inoltre in ogni anello diverso da quello banale, lo zero non è mai invertibile.


Definizione (254 Elemento unitario)

Un elemento si dice unitario (unit) se ammette inverso in rispetto al prodotto, cioè se esiste un elemento tale che .

 



L'unità dell'anello coincide con il suo inverso, quindi è unitario (in un anello banale lo zero è unitario). Quindi l'insieme degli elementi unitari non è mai vuoto.

Relazione tra unitari e divisori dello zero[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (255)

Un elemento unitario in non può mai essere un divisore dello zero.

 


Dimostrazione

Sia un elemento unitario, e supponiamo che . Allora moltiplicando per l'inverso di si ottiene , quindi . Similmente se .

 


Esempio (256)

Nell'anello degli interi gli unici elementi invertibili sono . Anche se un elemento non è un divisore dello zero, non è necessariamente un unitario.

 



Alcuni anelli sono unione disgiunta di , di divisori dello zero e di elementi unitari.

gruppo degli elementi unitari[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (257)

Sia l'insieme degli elementi unitari di un anello . Allora se considero la restrizione del prodotto agli elementi unitari, essi formano un gruppo.

 


Dimostrazione
  1. poiché .
  2. Se , anche , infatti , cioè ammette inverso e . (siccome , sappiamo che )

  1. Infine, se , anche e quindi è chiuso rispetto agli inversi ed è un gruppo.
 

Particolari tipi di anelli[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (258 Corpo)

Un anello con si dice corpo se ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto, cioè è unitario. In altre parole, è chiuso rispetto al prodotto ed è un gruppo rispetto al prodotto.

 


Definizione (259 Campo)

Un campo è un corpo commutativo.

 


Osservazione (260)

Un corpo non ha divisori dello zero, infatti ogni elemento di un corpo è unitario. Un anello (anche commutativo) privo di divisori dello zero non è però necessariamente un corpo.


Un anello commutativo privo di divisori dello zero non è necessariamente un campo.

 


Esempio (261)

è un anello commutativo privo di divisori dello zero, ma non un corpo perché nessun elemento ha un inverso oltre a .

 


Osservazione (262)

Ogni corpo finito è un campo.

 



L'anello delle classi di resti modulo è un campo finito se e solo se è privo di divisori dello zero, e quindi se è un primo. In questo anello si ha una partizione tra divisori dello zero e elementi unitari.


Anticipazione: Ogni campo finito ha come potenza un numero primo e si costruisce estendendo un campo delle classi di resto modulo .

Relazione tra anelli finiti e corpi[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (263)

Un anello finito non ridotto al solo zero e privo di divisori dello zero è un corpo.

 
Dimostrazione

Bisogna dimostrare che ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto. Sia e consideriamo tutti gli elementi che si possono scrivere come potenze di . Se l'anello è finito, esistono degli interi con tali che .


Poniamo . Allora . Siccome per ipotesi è privo di divisori dello zero, valgono le leggi di cancellazione e , e quindi si ottiene .


Se , ed è unitario. Se , posso scrivere e quindi è l'inverso di . Quindi in ogni caso ammette un inverso.

 


Corollario (264)

L'anello delle classi di resto modulo , cioè è un corpo e quindi un campo se e solo se il modulo è un numero primo.

 
Dimostrazione

Questo anello è privo di divisori dello zero se e solo se è primo. Nel caso del "se", se questo anello è privo di divisori dello zero, dal teorema precedente segue che è un corpo, siccome il prodotto delle classi di resto è commutativo è anche un campo.

 
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