Classi di elementi

In un anello ci sono due classi di elementi che svolgono una funzione importante:

1. i divisori dello zero;
2. gli elementi unitari.

Divisore dello zero

Ci sono anelli in cui è possibile che il prodotto di due elementi diversi dallo zero sia uguale a 0.

In altri anelli invece il prodotto di due elementi diversi da 0 è sempre diverso da 0 (vale la proprietà di annullamento del prodotto).

Definizione (246)

Un elemento $a\in A$$a\in A$, $a\neq 0$$a\neq 0$ si dice divisore dello zero se esiste almeno un altro elemento anch'esso diverso dallo zero dell'anello tale che sia $a*b=0$$a*b=0$ o $b*a=0$$b*a=0$ (l'anello non è necessariamente commutativo).

 

In altre parole, un anello $A$$A$ diverso da $\{0\}$$\{0\}$ è privo di divisori dello zero se e solo se, il prodotto tra due elementi qualsiasi diversi da zero, il prodotto è sempre diverso da zero.

Se chiamo $A^{*}=A\smallsetminus 0$$A^{*}=A\smallsetminus 0$ un anello è privo di divisori dello zero se $A^{*}$$A^*$ è chiuso rispetto al prodotto.

Esempio (247)

L'anello $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ è un anello privo di divisori dello zero. Questa è una conseguenza degli assiomi dell'aritmetica degli interi. Anche gli anelli $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ sono privi di divisori dello zero.

 

Esempio (248)

L'anello delle classi di resti modulo $n$$n$ è privo di divisori dello zero se e solo se $n$$n$ è primo.

 

Dimostrazione

Sia $n$$n$ non primo, allora si può fattorizzare come prodotto di due primi $r*s$$r*s$, dove $1<r<n$$1<r<n$ e $1<s<n$$1<s<n$. Allora considerando il prodotto $[r]*[s]$$[r]*[s]$ le due classi sono diverse dalla classe $[0]$$[0]$ ma il loro prodotto $[r]*[s]=[n]=[0]$$[r]*[s]=[n]=[0]$. Viceversa, sia $p$$p$ primo e si supponga che ci siano divisori dello zero. Allora se $ab$$ab$ sta nella classe zero, è divisibile per $p$$p$. Se $p\mid ab$$p\mid ab$, allora o $p\mid a$$p\mid a$ o $p\mid b$$p\mid b$, cioè $[a]=[p]=[0]$$[a]=[p]=[0]$ oppure $[b]=[p]=[0]$$[b]=[p]=[0]$. Quindi se $n=p$$n=p$ non ci sono divisori dello zero.

 

Definizione (249 Numero primo)

Un intero relativo $n\in \mathbb {Z}$$n\in \mathbb {Z}$, $n\neq 0,n\neq \pm 1$$n\neq 0,n\neq \pm 1$ si dice primo se ogni volta che $p\mid ab$$p\mid ab$, o $p\mid a$$p\mid a$ o $p\mid b$$p\mid b$.

 

Definizione (250 Numero irriducibile)

Un numero $p$$p$ è irriducibile se è divisibile solo per se stesso e per $\pm 1$$\pm 1$.

 

Queste due definizioni definiscono la stessa classe di interi, cioè, un intero è primo se e solo se è irriducibile.

Esempio (251)

Consideriamo l'anello non commutativo delle matrici quadrate $mat(n,A)$$mat(n,A)$. Per ogni $n>1$$n>1$ questo anello cotiene i divisori dello zero. Se chiamiamo $E_{ij}$$E_{ij}$ la matrice elementare che ha $1_{A}$$1_{A}$ nel posto $ij$$ij$ e $0$$0$ altrove, e facciamo il prodotto righe per colonne con $e_{kl}$$e_{kl}$, il prodotto è

$$\delta _{ij}*\delta _{kl}$$

$$\delta _{ij}*\delta _{kl}$$

per $j=k$$j=k$. Per ogni $j\neq k$$j\neq k$ si ottiene la matrice nulla.

 

Condizione necessaria e sufficiente

Lemma (252)

Un anello $A$$A$ è privo di divisori dello zero se e solo se valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ovvero se per ogni $a\neq 0$$a\neq 0$, e per ogni $x,y\in A$$x,y\in A$ si ha che se $ax=ay$$ax=ay$, allora $x=y$$x=y$ e analogamente se $xa=ya$$xa=ya$ allora $x=y$$x=y$.

 

Nota: Nell'anello delle matrici $Mat(n,A)$$Mat(n,A)$ non valgono le leggi di cancellazione.

Dimostrazione

Supponiamo che $A$$A$ sia privo di divisori dello zero. Sia $a\neq 0$$a\neq 0$ e $ax=ay$$ax=ay$. Segue che

$$ax-ay=ax+(-ay)=0$$

$$ax-ay=ax+(-ay)=0$$

Per le proprietà distributive:

$$a*(x-y)=0$$

$$a*(x-y)=0$$

Si conclude che siccome $a\neq 0$$a\neq 0$ e siccome $a$$a$ è privo di divisori dello zero, $x-y=0$$x-y=0$ e quindi $x=y$$x=y$. Similmente a destra.

Viceversa, supponiamo che valgano le leggi di cancellazione e sia $a*b=0$$a*b=0$, con $a\neq 0$$a\neq 0$. Allora usando la proprietà dello zero, si può scrivere

$$ab=a*0=0$$

$$ab=a*0=0$$

Siccome valgono le leggi di cancellazione si può semplificare per $a$$a$ e quindi si ottiene $b=0$$b=0$. Similmente se $b=0$$b=0$.

 

Definizione (253 Dominio di integrità)

Un anello commutativo e privo di divisori dello zero si dice dominio (di integrità).

 

Elementi invertibili rispetto al prodotto

In un anello, preso un elemento $x\in A$$x \in A$, non necessariamente esiste l'inverso di $x$$x$ rispetto al prodotto (infatti negli assiomi di anello, $(A,\cdot )$$(A,\cdot )$ è un monoide). Inoltre in ogni anello diverso da quello banale, lo zero non è mai invertibile.

Definizione (254 Elemento unitario)

Un elemento $a\in A$$a\in A$ si dice unitario (unit) se ammette inverso in $A$$A$ rispetto al prodotto, cioè se esiste un elemento ${\bar {a}}=a^{-1}$${\bar {a}}=a^{-1}$ tale che $a^{-1}*a=a*a^{-1}=1_{A}$$a^{-1}*a=a*a^{-1}=1_{A}$.

 

L'unità dell'anello coincide con il suo inverso, quindi è unitario (in un anello banale lo zero è unitario). Quindi l'insieme degli elementi unitari non è mai vuoto.

Relazione tra unitari e divisori dello zero

Lemma (255)

Un elemento unitario in $A$$A$ non può mai essere un divisore dello zero.

 

Dimostrazione

Sia $a$$a$ un elemento unitario, e supponiamo che $a*b=0$$a*b=0$. Allora moltiplicando per l'inverso di $a$$a$ si ottiene $a^{-1}*(ab)=a^{-1}*0$$a^{-1}*(ab)=a^{-1}*0$, quindi $1_{A}*b=a^{-1}*0=0$$1_{A}*b=a^{-1}*0=0$. Similmente se $ba=0$$ba=0$.

 

Esempio (256)

Nell'anello degli interi gli unici elementi invertibili sono $\pm 1$$\pm 1$. Anche se un elemento non è un divisore dello zero, non è necessariamente un unitario.

 

Alcuni anelli sono unione disgiunta di $0$$0$, di divisori dello zero e di elementi unitari.

gruppo degli elementi unitari

Lemma (257)

Sia $U$$U$ l'insieme degli elementi unitari di un anello $(A,+,\cdot )$$(A,+,\cdot )$. Allora se considero la restrizione del prodotto agli elementi unitari, essi formano un gruppo.

 

Dimostrazione

1. $U\neq \emptyset$$U\neq \emptyset$ poiché $1_{A}\in U$$1_{A}\in U$.
2. Se $a,b\in U$$a,b\in U$, anche $ab\in U$$ab\in U$, infatti $(ab)*b^{-1}a^{-1}=a*1_{A}*a^{-1}=1_{A}$$(ab)*b^{-1}a^{-1}=a*1_{A}*a^{-1}=1_{A}$, cioè $ab$$ab$ ammette inverso e $(ab)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$$(ab)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. (siccome $a,b\in U$$a,b\in U$, sappiamo che $\exists a^{-1}\in A,\exists b^{-1}\in b$$\exists a^{-1}\in A,\exists b^{-1}\in b$)

$$(b^{-1}*a^{-1})*(ba)=1_{A}$$

$$(b^{-1}*a^{-1})*(ba)=1_{A}$$

1. Infine, se $a\in U$$a\in U$, anche $a^{-1}\in U$$a^{-1}\in U$ e quindi $U$$U$ è chiuso rispetto agli inversi ed è un gruppo.

 

Particolari tipi di anelli

Definizione (258 Corpo)

Un anello $(A,+,\cdot )$$(A,+,\cdot )$ con $|A|>1$$|A|>1$ si dice corpo se ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto, cioè è unitario. In altre parole, $A^{*}$$A^*$ è chiuso rispetto al prodotto ed è un gruppo rispetto al prodotto.

 

Definizione (259 Campo)

Un campo è un corpo commutativo.

 

Osservazione (260)

Un corpo $K$$K$ non ha divisori dello zero, infatti ogni elemento di un corpo è unitario. Un anello (anche commutativo) privo di divisori dello zero non è però necessariamente un corpo.

Un anello commutativo privo di divisori dello zero non è necessariamente un campo.

 

Esempio (261)

$\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ è un anello commutativo privo di divisori dello zero, ma non un corpo perché nessun elemento ha un inverso oltre a $\pm 1$$\pm 1$.

 

Osservazione (262)

Ogni corpo finito è un campo.

 

L'anello delle classi di resti modulo $n$$n$ è un campo finito se e solo se è privo di divisori dello zero, e quindi se $n$$n$ è un primo. In questo anello si ha una partizione tra divisori dello zero e elementi unitari.

Anticipazione: Ogni campo finito ha come potenza un numero primo e si costruisce estendendo un campo delle classi di resto modulo $n$$n$.

Relazione tra anelli finiti e corpi

Teorema (263)

Un anello finito non ridotto al solo zero e privo di divisori dello zero è un corpo.

 

Dimostrazione

Bisogna dimostrare che ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto. Sia $a\neq 0,\,a\in A$$a\neq 0,\,a\in A$ e consideriamo tutti gli elementi che si possono scrivere come potenze di $a$$a$. Se l'anello è finito, esistono degli interi $r,s$$r,s$ con $r>s$$r>s$ tali che $a^{r}=a^{s}$$a^{r}=a^{s}$.

Poniamo $h=r-s$$h=r-s$. Allora $a^{r}=a^{h+s}=a^{h}*a^{s}=a^{s}$$a^{r}=a^{h+s}=a^{h}*a^{s}=a^{s}$. Siccome per ipotesi $a$$a$ è privo di divisori dello zero, valgono le leggi di cancellazione e $a^{s}\neq 0$$a^{s}\neq 0$, e quindi si ottiene $a^{h}=1_{A}$$a^{h}=1_{A}$.

Se $h=1$$h=1$, $a=1_{A}$$a=1_{A}$ ed è unitario. Se $h>1$$h>1$, posso scrivere $a^{h}=a*a^{h-1}$$a^{h}=a*a^{h-1}$ e quindi $a^{h-1}$$a^{h-1}$ è l'inverso di $a$$a$. Quindi in ogni caso $a\neq 0$$a\neq 0$ ammette un inverso.

 

Corollario (264)

L'anello delle classi di resto modulo $n$$n$, cioè $({\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }},+,\cdot )$$({\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }},+,\cdot )$ è un corpo e quindi un campo se e solo se il modulo $n$$n$ è un numero primo.

 

Dimostrazione

Questo anello è privo di divisori dello zero se e solo se $n$$n$ è primo. Nel caso del "se", se questo anello è privo di divisori dello zero, dal teorema precedente segue che è un corpo, siccome il prodotto delle classi di resto è commutativo è anche un campo.