Classi di elementi
In un anello ci sono due classi di elementi che svolgono una funzione importante:
- i divisori dello zero;
- gli elementi unitari.
Divisore dello zero[modifica | modifica wikitesto]
Ci sono anelli in cui è possibile che il prodotto di due elementi diversi dallo zero sia uguale a 0.
In altri anelli invece il prodotto di due elementi diversi da 0 è sempre diverso da 0 (vale la proprietà di annullamento del prodotto).
Un elemento , si dice divisore dello zero se esiste almeno un altro elemento anch'esso diverso dallo zero dell'anello tale che sia o (l'anello non è necessariamente commutativo).
In altre parole, un anello diverso da è privo di divisori dello zero se e solo se, il prodotto tra due elementi qualsiasi
diversi da zero, il prodotto è sempre diverso da zero.
Se chiamo un anello è privo di divisori dello zero se è chiuso rispetto al prodotto.
L'anello è un anello privo di divisori dello zero. Questa è una conseguenza degli assiomi dell'aritmetica degli interi. Anche gli anelli sono privi di divisori dello zero.
L'anello delle classi di resti modulo è privo di divisori dello zero se e solo se è primo.
Sia non primo, allora si può fattorizzare come prodotto di due primi , dove e . Allora considerando il prodotto le due classi sono diverse dalla classe ma il loro prodotto . Viceversa, sia primo e si supponga che ci siano divisori dello zero. Allora se sta nella classe zero, è divisibile per . Se , allora o o , cioè oppure . Quindi se non ci sono divisori dello zero.
Un intero relativo , si dice primo se ogni volta che , o o .
Un numero è irriducibile se è divisibile solo per se stesso e per .
Queste due definizioni definiscono la stessa classe di interi, cioè, un intero è primo se e solo se è irriducibile.
Consideriamo l'anello non commutativo delle matrici quadrate . Per ogni questo anello cotiene i divisori dello zero. Se chiamiamo la matrice elementare che ha nel posto e altrove, e facciamo il prodotto righe per colonne con , il prodotto è
Condizione necessaria e sufficiente[modifica | modifica wikitesto]
Un anello è privo di divisori dello zero se e solo se valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ovvero se per ogni , e per ogni si ha che se , allora e analogamente se allora .
Nota: Nell'anello delle matrici non valgono le leggi di cancellazione.
Supponiamo che sia privo di divisori dello zero. Sia e . Segue che
Viceversa, supponiamo che valgano le leggi di cancellazione e sia , con . Allora usando la proprietà dello zero, si può scrivere
Un anello commutativo e privo di divisori dello zero si dice dominio (di integrità).
Elementi invertibili rispetto al prodotto[modifica | modifica wikitesto]
In un anello, preso un elemento , non necessariamente esiste l'inverso di rispetto al prodotto (infatti negli assiomi di anello, è un monoide). Inoltre in ogni anello diverso da quello banale, lo zero non è mai invertibile.
Un elemento si dice unitario (unit) se ammette inverso in rispetto al prodotto, cioè se esiste un elemento tale che .
L'unità dell'anello coincide con il suo inverso, quindi è unitario (in un anello banale lo zero è unitario).
Quindi l'insieme degli elementi unitari non è mai vuoto.
Relazione tra unitari e divisori dello zero[modifica | modifica wikitesto]
Un elemento unitario in non può mai essere un divisore dello zero.
Sia un elemento unitario, e supponiamo che . Allora moltiplicando per l'inverso di si ottiene , quindi . Similmente se .
Nell'anello degli interi gli unici elementi invertibili sono . Anche se un elemento non è un divisore dello zero, non è necessariamente un unitario.
Alcuni anelli sono unione disgiunta di , di divisori dello zero e di elementi unitari.
gruppo degli elementi unitari[modifica | modifica wikitesto]
Sia l'insieme degli elementi unitari di un anello . Allora se considero la restrizione del prodotto agli elementi unitari, essi formano un gruppo.
- poiché .
- Se , anche , infatti , cioè ammette inverso e . (siccome , sappiamo che )
- Infine, se , anche e quindi è chiuso rispetto agli inversi ed è un gruppo.
Particolari tipi di anelli[modifica | modifica wikitesto]
Un anello con si dice corpo se ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto, cioè è unitario. In altre parole, è chiuso rispetto al prodotto ed è un gruppo rispetto al prodotto.
Un campo è un corpo commutativo.
Un corpo non ha divisori dello zero, infatti ogni elemento di un corpo è unitario. Un anello (anche commutativo) privo di divisori dello zero non è però necessariamente un corpo.
Un anello commutativo privo di divisori dello zero non è necessariamente un campo.
è un anello commutativo privo di divisori dello zero, ma non un corpo perché nessun elemento ha un inverso oltre a .
Ogni corpo finito è un campo.
L'anello delle classi di resti modulo è un campo finito se e solo se è privo di divisori dello zero, e quindi se è un primo.
In questo anello si ha una partizione tra divisori dello zero e elementi unitari.
Anticipazione: Ogni campo finito ha come potenza un numero primo e si costruisce estendendo un campo delle classi di resto modulo .
Relazione tra anelli finiti e corpi[modifica | modifica wikitesto]
Un anello finito non ridotto al solo zero e privo di divisori dello zero è un corpo.
Bisogna dimostrare che ogni elemento diverso dallo zero è invertibile rispetto al prodotto. Sia e consideriamo tutti gli elementi che si possono scrivere come potenze di . Se l'anello è finito, esistono degli interi con tali che .
Poniamo . Allora . Siccome per ipotesi è privo di divisori dello zero, valgono le leggi di cancellazione e , e quindi si ottiene .
Se , ed è unitario. Se , posso scrivere e quindi è l'inverso di .
Quindi in ogni caso ammette un inverso.
L'anello delle classi di resto modulo , cioè è un corpo e quindi un campo se e solo se il modulo è un numero primo.
Questo anello è privo di divisori dello zero se e solo se è primo. Nel caso del "se", se questo anello è privo di divisori dello zero, dal teorema precedente segue che è un corpo, siccome il prodotto delle classi di resto è commutativo è anche un campo.